Номер 11.19, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.19, страница 103.

11.19. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \tan^2 3x \,dx;$

2) $\int_{-\pi}^{0} 2\sin^2 \frac{x}{4} \,dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \,dx;$

4) $\int_{1}^{2} \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \,dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{12}} \tg^2 3x \,dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, выраженным через тангенс и секанс: $\tg^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$, или $\tg^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1$. В нашем случае, $\tg^2 3x = \frac{1}{\cos^2 3x} - 1$.
Таким образом, интеграл принимает вид:
$\int_0^{\frac{\pi}{12}} \left(\frac{1}{\cos^2 3x} - 1\right) dx$
Теперь найдём первообразную. Первообразная для $\frac{1}{\cos^2 3x}$ равна $\frac{1}{3}\tg 3x$, а первообразная для $1$ равна $x$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$\int_0^{\frac{\pi}{12}} \left(\frac{1}{\cos^2 3x} - 1\right) dx = \left. \left(\frac{1}{3}\tg 3x - x\right) \right|_0^{\frac{\pi}{12}} = \left(\frac{1}{3}\tg\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{1}{3}\tg(3 \cdot 0) - 0\right)$
Вычислим значения:
$\left(\frac{1}{3}\tg\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{1}{3}\tg(0) - 0\right) = \left(\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{\pi}{12}\right) - (0 - 0) = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{3} - \frac{\pi}{12}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-\pi}^0 2\sin^2 \frac{x}{4} \,dx$ используем формулу понижения степени для синуса: $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, значит $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.
Подставим это в подынтегральное выражение:
$\int_{-\pi}^0 (1 - \cos \frac{x}{2}) \,dx$
Найдём первообразную. Первообразная для $1$ равна $x$, а для $\cos \frac{x}{2}$ равна $2\sin \frac{x}{2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\left. \left(x - 2\sin \frac{x}{2}\right) \right|_{-\pi}^0 = \left(0 - 2\sin \frac{0}{2}\right) - \left(-\pi - 2\sin \frac{-\pi}{2}\right)$
Вычислим значения:
$(0 - 2\sin 0) - (-\pi - 2(-1)) = (0 - 0) - (-\pi + 2) = -(-\pi + 2) = \pi - 2$.
Ответ: $\pi - 2$.

3) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 3x \cos x \,dx$ используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$.
$\cos 3x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(3x+x) + \cos(3x-x)) = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 2x)$.
Интеграл принимает вид:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 2x) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos 4x + \cos 2x) \,dx$
Найдём первообразную:
$\frac{1}{2} \left. \left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{4}\sin(0) + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right]$
Вычислим значения:
$\frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{4}\sin(2\pi) + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - (0 + 0) \right] = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0\right) - 0 \right] = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для вычисления интеграла $\int_1^2 \frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} \,dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:
$\frac{e^x + x^3}{x^3 e^x} = \frac{e^x}{x^3 e^x} + \frac{x^3}{x^3 e^x} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{e^x} = x^{-3} + e^{-x}$.
Теперь проинтегрируем полученное выражение:
$\int_1^2 (x^{-3} + e^{-x}) \,dx$
Найдём первообразную. Первообразная для $x^{-3}$ равна $\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$, а для $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\left. \left(-\frac{1}{2x^2} - e^{-x}\right) \right|_1^2 = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2} - e^{-2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2} - e^{-1}\right)$
Вычислим значения:
$\left(-\frac{1}{8} - e^{-2}\right) - \left(-\frac{1}{2} - e^{-1}\right) = -\frac{1}{8} - e^{-2} + \frac{1}{2} + e^{-1} = \frac{4-1}{8} + e^{-1} - e^{-2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}$.
Ответ: $\frac{3}{8} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^2}$.