Номер 11.14, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.14, страница 102.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№11.14 (с. 102)
Учебник. №11.14 (с. 102)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 102, номер 11.14, Учебник

11.14. При каких значениях $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^3$, $y = 0$, $x = a$, равна 8?

Решение. №11.14 (с. 102)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 102, номер 11.14, Решение
Решение 2. №11.14 (с. 102)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$, находится с помощью определенного интеграла. Формула для площади $S$ выглядит так:

$S = \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx \right|$

В нашем случае фигура ограничена линиями $y=2x^3$, $y=0$, $x=0$ и $x=a$. Следовательно, $f(x)=2x^3$, пределы интегрирования — от $0$ до $a$. По условию, площадь $S$ равна 8. Запишем соответствующее уравнение:

$S = \left| \int_0^a 2x^3 \,dx \right| = 8$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x)=2x^3$:

$F(x) = \int 2x^3 \,dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$\int_0^a 2x^3 \,dx = F(a) - F(0) = \frac{a^4}{2} - \frac{0^4}{2} = \frac{a^4}{2}$

Подставим результат в уравнение для площади:

$S = \left| \frac{a^4}{2} \right| = 8$

Так как $a^4$ является неотрицательной величиной при любом действительном значении $a$ ($a^4 \ge 0$), то модуль можно опустить:

$\frac{a^4}{2} = 8$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$a^4 = 8 \cdot 2$

$a^4 = 16$

Извлекая корень четвертой степени, находим действительные решения:

$a = \pm\sqrt[4]{16}$

$a = \pm 2$

Таким образом, площадь указанной фигуры равна 8 при $a=2$ и при $a=-2$. Если $a=2$, то площадь — это $\int_0^2 2x^3 \,dx$. Если $a=-2$, то фигура ограничена линиями $x=0$ и $x=-2$, а ее площадь равна $\left| \int_0^{-2} 2x^3 \,dx \right| = \left| \frac{(-2)^4}{2} \right| = 8$.

Ответ: $a=2$ или $a=-2$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.14 расположенного на странице 102 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.14 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться