Номер 11.14, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.14, страница 102.
№11.14 (с. 102)
Учебник. №11.14 (с. 102)
скриншот условия

11.14. При каких значениях $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^3$, $y = 0$, $x = a$, равна 8?
Решение. №11.14 (с. 102)

Решение 2. №11.14 (с. 102)
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$, находится с помощью определенного интеграла. Формула для площади $S$ выглядит так:
$S = \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx \right|$
В нашем случае фигура ограничена линиями $y=2x^3$, $y=0$, $x=0$ и $x=a$. Следовательно, $f(x)=2x^3$, пределы интегрирования — от $0$ до $a$. По условию, площадь $S$ равна 8. Запишем соответствующее уравнение:
$S = \left| \int_0^a 2x^3 \,dx \right| = 8$
Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x)=2x^3$:
$F(x) = \int 2x^3 \,dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$
Теперь вычислим значение определенного интеграла:
$\int_0^a 2x^3 \,dx = F(a) - F(0) = \frac{a^4}{2} - \frac{0^4}{2} = \frac{a^4}{2}$
Подставим результат в уравнение для площади:
$S = \left| \frac{a^4}{2} \right| = 8$
Так как $a^4$ является неотрицательной величиной при любом действительном значении $a$ ($a^4 \ge 0$), то модуль можно опустить:
$\frac{a^4}{2} = 8$
Решим полученное уравнение относительно $a$:
$a^4 = 8 \cdot 2$
$a^4 = 16$
Извлекая корень четвертой степени, находим действительные решения:
$a = \pm\sqrt[4]{16}$
$a = \pm 2$
Таким образом, площадь указанной фигуры равна 8 при $a=2$ и при $a=-2$. Если $a=2$, то площадь — это $\int_0^2 2x^3 \,dx$. Если $a=-2$, то фигура ограничена линиями $x=0$ и $x=-2$, а ее площадь равна $\left| \int_0^{-2} 2x^3 \,dx \right| = \left| \frac{(-2)^4}{2} \right| = 8$.
Ответ: $a=2$ или $a=-2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.14 расположенного на странице 102 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.14 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.