Номер 11.14, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Упражнения - номер 11.14, страница 102.

Учебник.

11.14. При каких значениях $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^3$, $y = 0$, $x = a$, равна 8?

Решение.

Решение 2.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$, находится с помощью определенного интеграла. Формула для площади $S$ выглядит так:

$S = \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx \right|$

В нашем случае фигура ограничена линиями $y=2x^3$, $y=0$, $x=0$ и $x=a$. Следовательно, $f(x)=2x^3$, пределы интегрирования — от $0$ до $a$. По условию, площадь $S$ равна 8. Запишем соответствующее уравнение:

$S = \left| \int_0^a 2x^3 \,dx \right| = 8$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x)=2x^3$:

$F(x) = \int 2x^3 \,dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$\int_0^a 2x^3 \,dx = F(a) - F(0) = \frac{a^4}{2} - \frac{0^4}{2} = \frac{a^4}{2}$

Подставим результат в уравнение для площади:

$S = \left| \frac{a^4}{2} \right| = 8$

Так как $a^4$ является неотрицательной величиной при любом действительном значении $a$ ($a^4 \ge 0$), то модуль можно опустить:

$\frac{a^4}{2} = 8$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$a^4 = 8 \cdot 2$

$a^4 = 16$

Извлекая корень четвертой степени, находим действительные решения:

$a = \pm\sqrt[4]{16}$

$a = \pm 2$

Таким образом, площадь указанной фигуры равна 8 при $a=2$ и при $a=-2$. Если $a=2$, то площадь — это $\int_0^2 2x^3 \,dx$. Если $a=-2$, то фигура ограничена линиями $x=0$ и $x=-2$, а ее площадь равна $\left| \int_0^{-2} 2x^3 \,dx \right| = \left| \frac{(-2)^4}{2} \right| = 8$.

Ответ: $a=2$ или $a=-2$.