Номер 10.24, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.24, страница 90.

10.24. Найдите область значений функции

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$

Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$, нужно определить, какие значения может принимать подкоренное выражение $g(x) = x^2 + 2x + 2$, а затем найти значения квадратного корня из этих чисел.

Рассмотрим подкоренное выражение $g(x) = x^2 + 2x + 2$. Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Для нахождения наименьшего значения функции $g(x)$ выделим полный квадрат:
$g(x) = x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Выражение $(x+1)^2$ всегда больше или равно нулю для любого действительного числа $x$. То есть, $(x+1)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ достигается, когда $(x+1)^2 = 0$, то есть при $x = -1$.
Наименьшее значение $g(x)$ равно $g_{min} = ( -1 + 1)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$.

Таким образом, подкоренное выражение $x^2 + 2x + 2$ принимает значения в промежутке $[1, +\infty)$.

Теперь рассмотрим исходную функцию $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$. Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей, её наименьшее значение будет соответствовать наименьшему значению её аргумента.
Наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = \sqrt{1} = 1$.
Поскольку подкоренное выражение может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), то и значение функции $y$ также может быть сколь угодно большим.

Таким образом, область значений функции $y$ — это все числа от 1, включая 1, до $+\infty$.

Ответ: $[1, +\infty)$.