Страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.2. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.12.

Рис. 11.12

a

$y = x^4$

б

$y = \sin x$

в

$y = 2^x$

г

$y = -2x - x^2$

д

$y = \frac{1}{x^3}$

е

$y = \frac{4}{x}$

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^4$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=-1$ и $x=0$, вычисляется с помощью определённого интеграла. Так как на отрезке $[-1, 0]$ функция $y = x^4$ неотрицательна, площадь $S$ равна:
$S = \int_{-1}^{0} x^4 \,dx$.
Первообразная для $f(x) = x^4$ есть $F(x) = \frac{x^5}{5}$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{0} = F(0) - F(-1) = \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = 0 - (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$ и осью абсцисс на отрезке от $x = 0$ до $x = \pi$. На этом отрезке функция $\sin x \ge 0$. Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$.
Первообразная для функции $\sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. -\cos x \right|_{0}^{\pi} = F(\pi) - F(0) = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

Фигура ограничена графиком функции $y = 2^x$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. Функция $y=2^x$ положительна при любых значениях $x$. Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{2} 2^x \,dx$.
Первообразная для показательной функции $a^x$ есть $F(x) = \frac{a^x}{\ln a}$. В данном случае $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4 - 2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{2}{\ln 2}$.

Фигура ограничена графиком функции $y = -2x - x^2$ и осью абсцисс на отрезке от $x = -2$ до $x = -1$. Корни уравнения $-2x - x^2 = 0$ это $x=0$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вниз, на интервале $(-2, 0)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[-2, -1]$ функция неотрицательна.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{-2}^{-1} (-2x - x^2) \,dx$.
Первообразная для $-2x - x^2$ есть $F(x) = -x^2 - \frac{x^3}{3}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left(-x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{-2}^{-1} = F(-1) - F(-2) = \left(-(-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}\right) - \left(-(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(-1 + \frac{1}{3}\right) - \left(-4 + \frac{8}{3}\right) = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^3}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция положительна. Представим функцию в виде $y = x^{-3}$.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{3} x^{-3} \,dx$.
Первообразная для $x^{-3}$ есть $F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \right|_{1}^{3} = F(3) - F(1) = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1+9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{4}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = e$. На отрезке $[1, e]$ функция положительна.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{e} \frac{4}{x} \,dx$.
Первообразная для $\frac{4}{x}$ есть $F(x) = 4\ln|x|$. Так как $x > 0$ на отрезке $[1, e]$, используем $F(x) = 4\ln x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. 4\ln x \right|_{1}^{e} = F(e) - F(1) = 4\ln e - 4\ln 1 = 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 4$.

Ответ: $4$.

11.3. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_{5}^{7} x dx;$

2) $\int_{3}^{8} 2 dx;$

3) $\int_{-3}^{0} x^2 dx;$

4) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx;$

6) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

7) $\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}};$

8) $\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x};$

9) $\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2};$

10) $\int_{-2}^{3} 3^x dx;$

11) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx;$

12) $\int_{-4}^{-2} (2x + 4)dx;$

13) $\int_{0}^{6} (3x^2 - x)dx;$

14) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin x + 2 \cos x)dx.$

1) Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_5^7 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_5^7 = \frac{7^2}{2} - \frac{5^2}{2} = \frac{49 - 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: $12$.

2) Найдем первообразную для константы $f(x) = 2$. Первообразная есть $F(x) = 2x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_3^8 2 \, dx = \left[ 2x \right]_3^8 = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10$.
Ответ: $10$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-3}^0 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^0 = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 - \frac{-27}{3} = 0 - (-9) = 9$.
Ответ: $9$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$. Первообразная есть $F(x) = \frac{x^5}{5}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^2 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^2 = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32 + 1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sin x$. Первообразная есть $F(x) = -\cos x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Первообразная есть $F(x) = \tan x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left[ \tan x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

7) Представим подынтегральную функцию в виде степенной: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$.
Первообразная для $x^{-\frac{1}{2}}$ есть $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{16}^{100} = 2\sqrt{100} - 2\sqrt{16} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 4 = 20 - 8 = 12$.
Ответ: $12$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразная есть $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница (поскольку пределы интегрирования положительны, модуль можно опустить):
$\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x} = \left[ \ln x \right]_{e^2}^{e^3} = \ln(e^3) - \ln(e^2) = 3 - 2 = 1$.
Ответ: $1$.

9) Представим подынтегральную функцию в виде степенной: $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
Первообразная для $x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_1^{10} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{10} = \left(-\frac{1}{10}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{10} + 1 = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$.

10) Найдем первообразную для показательной функции $f(x) = 3^x$. Первообразная есть $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^3 3^x \, dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]_{-2}^3 = \frac{3^3}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3} \left(27 - \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{243-1}{9}\right) = \frac{242}{9\ln 3}$.
Ответ: $\frac{242}{9\ln 3}$.

11) Представим подынтегральную функцию в виде степенной: $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.
Первообразная для $x^{\frac{1}{3}}$ есть $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_1^8 \sqrt[3]{x} \, dx = \left[ \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right]_1^8 = \frac{3}{4}\left(8^{\frac{4}{3}}\right) - \frac{3}{4}\left(1^{\frac{4}{3}}\right) = \frac{3}{4}\left((\sqrt[3]{8})^4\right) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{45}{4}$.
Ответ: $\frac{45}{4}$.

12) Используем свойство линейности интеграла. Найдем первообразную для $f(x) = 2x + 4$. Первообразная есть $F(x) = 2\frac{x^2}{2} + 4x = x^2 + 4x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-4}^{-2} (2x+4) \, dx = \left[ x^2 + 4x \right]_{-4}^{-2} = ((-2)^2 + 4(-2)) - ((-4)^2 + 4(-4)) = (4 - 8) - (16 - 16) = -4 - 0 = -4$.
Ответ: $-4$.

13) Используем свойство линейности интеграла. Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - x$. Первообразная есть $F(x) = 3\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} = x^3 - \frac{x^2}{2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^6 (3x^2 - x) \, dx = \left[ x^3 - \frac{x^2}{2} \right]_0^6 = \left(6^3 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(0^3 - \frac{0^2}{2}\right) = 216 - \frac{36}{2} = 216 - 18 = 198$.
Ответ: $198$.

14) Используем свойство линейности интеграла. Найдем первообразную для $f(x) = 4\sin x + 2\cos x$. Первообразная есть $F(x) = 4(-\cos x) + 2(\sin x) = -4\cos x + 2\sin x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (4\sin x + 2\cos x) \, dx = \left[ -4\cos x + 2\sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-4\cos(0) + 2\sin(0)) = (-4 \cdot 0 + 2 \cdot 1) - (-4 \cdot 1 + 2 \cdot 0) = 2 - (-4) = 6$.
Ответ: $6$.