Номер 9.12, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 9. Первообразная. Упражнения - номер 9.12, страница 81.

Учебник.

9.12. Укажите на рисунке 9.2 график, который может быть графиком первообразной функции $f(x) = \cos 3$.

Рис. 9.2

а

б

в

г

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, какой из графиков может представлять первообразную для функции $f(x) = \cos 3$, необходимо сначала найти общий вид этой первообразной. Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем ее интегрирования.

Функция $f(x) = \cos 3$ является константой, так как ее значение не зависит от переменной $x$. Число 3 в аргументе косинуса — это значение угла в радианах.

Найдем первообразную $F(x)$ путем интегрирования функции $f(x)$:
$F(x) = \int \cos 3 \,dx$

Поскольку $\cos 3$ — это константа, мы можем вынести ее за знак интеграла:
$F(x) = (\cos 3) \int 1 \,dx = (\cos 3) \cdot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Выражение $F(x) = (\cos 3)x + C$ — это линейная функция вида $y = kx + b$. Ее графиком является прямая линия. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой равен $k = \cos 3$.

Это позволяет нам сразу исключить график а, на котором изображена синусоида, а не прямая.

Далее определим знак углового коэффициента $k = \cos 3$. Для этого нужно выяснить, в какой координатной четверти находится угол в 3 радиана. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $\pi/2 \approx 1.5708$. Так как выполняется неравенство $\pi/2 < 3 < \pi$ (то есть $1.5708 < 3 < 3.14159$), угол в 3 радиана расположен во второй четверти.

Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому угловой коэффициент $k = \cos 3 < 0$. Это означает, что прямая должна быть убывающей (иметь наклон вниз слева направо).

Теперь проанализируем оставшиеся графики прямых:
- График б показывает прямую линию с отрицательным наклоном. Это полностью соответствует нашему анализу.
- График в — это горизонтальная прямая, у которой наклон равен нулю. Это неверно, так как $\cos 3 \neq 0$.
- График г показывает прямую с положительным наклоном. Это также неверно, поскольку мы установили, что наклон отрицательный.

Следовательно, единственным подходящим графиком является график, изображенный на рисунке б.

Ответ: б.