Номер 9.7, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.7, страница 80.

9.7. Проверьте, что функция $F(x) = \frac{x-2}{3x-1}$ является первообразной функцией $f(x) = \frac{5}{(3x-1)^2}$ на каждом из промежутков $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, и запишите общий вид первообразных функции $f$ на каждом из указанных промежутков.

Проверка того, что $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Даны функции $F(x) = \frac{x-2}{3x-1}$ и $f(x) = \frac{5}{(3x-1)^2}$. Область определения обеих функций — это множество всех действительных чисел, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$. Таким образом, функции определены и дифференцируемы на промежутках $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$F'(x) = \left(\frac{x-2}{3x-1}\right)' = \frac{(x-2)'(3x-1) - (x-2)(3x-1)'}{(3x-1)^2}$

Поскольку производная числителя $(x-2)' = 1$ и производная знаменателя $(3x-1)' = 3$, подставим эти значения в формулу:

$F'(x) = \frac{1 \cdot (3x-1) - (x-2) \cdot 3}{(3x-1)^2} = \frac{3x - 1 - (3x - 6)}{(3x-1)^2} = \frac{3x - 1 - 3x + 6}{(3x-1)^2} = \frac{5}{(3x-1)^2}$

В результате мы получили, что $F'(x) = \frac{5}{(3x-1)^2} = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Ответ: Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется на каждом из промежутков $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этих промежутках.

Общий вид первообразных функции $f$

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на некотором промежутке находится по формуле $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.

Так как область определения функции $f(x)$ состоит из двух непересекающихся промежутков, $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, постоянная интегрирования может быть разной для каждого из этих промежутков.

Таким образом, общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на объединении этих промежутков записывается как совокупность решений для каждого промежутка: $G(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{3x-1} + C_1, & \text{если } x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \\ \frac{x-2}{3x-1} + C_2, & \text{если } x \in (\frac{1}{3}; +\infty) \end{cases}$ , где $C_1$ и $C_2$ — произвольные и независимые друг от друга постоянные.

Ответ: Общий вид первообразных на промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$ есть $y = \frac{x-2}{3x-1} + C_1$; на промежутке $(\frac{1}{3}; +\infty)$ есть $y = \frac{x-2}{3x-1} + C_2$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.