Номер 4, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 4, страница 79.

4. Что называют неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$?

Чтобы дать определение неопределённому интегралу, необходимо сначала рассмотреть понятие первообразной функции.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется следующее равенство: $$F'(x) = f(x)$$ Это означает, что производная от первообразной функции $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Если для функции $f(x)$ найдена одна первообразная $F(x)$, то любая другая функция вида $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет являться её первообразной. Это wynikaет из того, что производная от константы равна нулю: $G'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x) + 0 = f(x)$. Таким образом, у функции существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на константу.

Неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$ называют совокупность всех её первообразных на этом промежутке.

Обозначается неопределённый интеграл символом $\int$ и записывается следующим образом: $$\int f(x)dx = F(x) + C$$ В этой формуле:

• $\int$ — это знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $f(x)dx$ — подынтегральное выражение.
• $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Процесс нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием и является операцией, обратной дифференцированию.

Ответ: Неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$ называется совокупность всех её первообразных на этом промежутке. Если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то неопределённый интеграл записывается как $\int f(x)dx = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.