Номер 9.3, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.3, страница 79.

9.3. Является ли функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ первообразной функции $f(x) = -\frac{2}{x^3}$ на промежутке:

1) $(0; +\infty)$;

2) $(-2; 2)$;

3) $(-\infty; 0]$;

4) $(-6; 0)$?

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняются два условия:
1. Функция $F(x)$ дифференцируема на этом промежутке.
2. Производная функции $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = \frac{1}{x^2}$. Для удобства представим ее в виде степенной функции: $F(x) = x^{-2}$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$F'(x) = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Таким образом, второе условие выполнено.
Теперь проверим первое условие для каждого из предложенных промежутков. Функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ определена и дифференцируема для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на любом промежутке, который не содержит точку $x=0$.

1) (0; +∞)

Данный промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и ее производная равна $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: да.

2) (-2; 2)

Данный промежуток содержит точку $x=0$. В этой точке функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ не определена и, следовательно, не дифференцируема. Поскольку условие дифференцируемости должно выполняться для всех точек промежутка, $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(-2; 2)$.
Ответ: нет.

3) (-∞; 0]

Данный промежуток содержит точку $x=0$. В этой точке функция $F(x)$ не определена. Следовательно, она не может быть первообразной на этом промежутке.
Ответ: нет.

4) (-6; 0)

Данный промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и $F'(x) = f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(-6; 0)$.
Ответ: да.