Номер 9.2, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.2, страница 79.
№9.2 (с. 79)
Учебник. №9.2 (с. 79)
скриншот условия

9.2. Докажите, что функция F является первообразной функции f на промежутке I:
1) $F(x) = x^4 - 2x^2 + 6$, $f(x) = 4x^3 - 4x$, $I = (-\infty; +\infty);$
2) $F(x) = \frac{1}{x^3}$, $f(x) = -\frac{3}{x^4}$, $I = (-\infty; 0);$
3) $F(x) = 5 - 3\sqrt{x}$, $f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty);$
4) $F(x) = 3\operatorname{tg}\frac{x}{3} + 6$, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}}$, $I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right).$
Решение. №9.2 (с. 79)


Решение 2. №9.2 (с. 79)
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для доказательства необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.
1) Даны функции $F(x) = x^4 - 2x^2 + 6$ и $f(x) = 4x^3 - 4x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (x^4 - 2x^2 + 6)' = (x^4)' - (2x^2)' + (6)'$
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:
$F'(x) = 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x^3 - 4x$
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 4x^3 - 4x = f(x)$
Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.
2) Даны функции $F(x) = \frac{1}{x^3}$ и $f(x) = -\frac{3}{x^4}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде степени: $F(x) = x^{-3}$.
Найдем производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции:
$F'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$
Перепишем результат в виде дроби:
$F'(x) = -\frac{3}{x^4}$
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{x^4} = f(x)$
Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $I = (-\infty; 0)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.
3) Даны функции $F(x) = 5 - 3\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде степени: $F(x) = 5 - 3x^{1/2}$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (5 - 3x^{1/2})' = (5)' - (3x^{1/2})' = 0 - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-1/2}$
Перепишем результат с использованием корня:
$F'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} = f(x)$
Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $I = (0; +\infty)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.
4) Даны функции $F(x) = 3\text{tg}\frac{x}{3} + 6$ и $f(x) = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}$ на промежутке $I = (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
Найдем производную функции $F(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(\text{tg}(u))' = \frac{u'}{\cos^2(u)}$.
$F'(x) = (3\text{tg}\frac{x}{3} + 6)' = (3\text{tg}\frac{x}{3})' + (6)'$
Здесь внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{3}$, ее производная $u'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.
$F'(x) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' + 0 = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}$
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}} = f(x)$
Функция $F(x)$ дифференцируема там, где $\cos(\frac{x}{3}) \neq 0$, то есть $\frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
Заданный промежуток $I = (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ не содержит точек, где производная не существует. Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из этого промежутка. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.2 расположенного на странице 79 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.2 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.