Номер 9.4, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.4, страница 79.

9.4. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 5$;

2) $f(x) = x$;

3) $f(x) = x^6$;

4) $f(x) = 2^x$;

5) $f(x) = \frac{1}{x^7}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

6) $f(x) = \sqrt{x}$ на промежутке $[1; +\infty)$;

7) $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на промежутке $(-\infty; -3)$;

8) $f(x) = x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

1)

Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 5$ используется правило нахождения первообразной для константы. Если $f(x) = k$, где $k$ — постоянная, то ее первообразная $F(x) = kx + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

В данном случае $k=5$, следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = 5x + C$.

Ответ: $F(x) = 5x + C$.

2)

Функция $f(x) = x$ является степенной функцией $x^1$. Для нахождения ее первообразной применяется формула для степенной функции $f(x) = x^n$ (при $n \neq -1$), общий вид первообразных для которой $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $n=1$, поэтому:

$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$.

3)

Для функции $f(x) = x^6$ используется та же формула для степенной функции, что и в предыдущем пункте. В данном случае показатель степени $n=6$.

$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$.

4)

Функция $f(x) = 2^x$ является показательной функцией вида $f(x) = a^x$. Общий вид ее первообразных находится по формуле $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.

Здесь основание $a=2$, поэтому:

$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

5)

Функцию $f(x) = \frac{1}{x^7}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ можно представить в виде степенной функции: $f(x) = x^{-7}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=-7$. Так как $n \neq -1$, формула применима.

$F(x) = \frac{x^{-7+1}}{-7+1} + C = \frac{x^{-6}}{-6} + C = -\frac{1}{6x^6} + C$.

Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{6x^6} + C$.

6)

Функцию $f(x) = \sqrt{x}$ на промежутке $[1; +\infty)$ представим в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=1/2$.

$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Результат также можно записать в виде $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

7)

Функцию $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на промежутке $(-\infty; -3)$ представим в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/5}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=1/5$.

$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C = \frac{x^{6/5}}{6/5} + C = \frac{5}{6}x^{6/5} + C$.

Результат можно также записать в виде $F(x) = \frac{5}{6}\sqrt[5]{x^6} + C$. Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{6}x^{6/5} + C$.

8)

Для функции $f(x) = x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$ применяем формулу для степенной функции с $n=-5$.

$F(x) = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C$.

Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + C$.