Номер 9.11, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.11, страница 81.

9.11. Для функции f найдите на промежутке I первообразную F, которая принимает данное значение в указанной точке:

1) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (0; \pi)$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(16) = 10$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{e}\right) = -2$;

4) $f(x) = 2^x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(5) = 1$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(\frac{\pi}{4}) = 0$.
Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Это неопределенный интеграл от $f(x)$:
$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Теперь используем данное условие $F(\frac{\pi}{4}) = 0$, чтобы найти значение $C$.
Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{4}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.
Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$-1 + C = 0$, откуда $C = 1$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = -\cot x + 1$.
Ответ: $F(x) = 1 - \cot x$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(16) = 10$.
Найдем общий вид первообразной. Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-1/2}$ и применим формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2x^{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.
Используем условие $F(16) = 10$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = 16$ в выражение для $F(x)$:
$F(16) = 2\sqrt{16} + C = 10$.
Так как $\sqrt{16} = 4$, получаем:
$2 \cdot 4 + C = 10$,
$8 + C = 10$, откуда $C = 2$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = 2\sqrt{x} + 2$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 2$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(\frac{1}{e}) = -2$.
Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ находится через интеграл: $F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Поскольку по условию промежуток $I = (0; +\infty)$, то $x > 0$, и, следовательно, $|x| = x$. Таким образом, $F(x) = \ln x + C$.
Используем условие $F(\frac{1}{e}) = -2$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = \frac{1}{e}$ в выражение для $F(x)$:
$F(\frac{1}{e}) = \ln(\frac{1}{e}) + C = -2$.
Так как $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем:
$-1 + C = -2$, откуда $C = -1$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \ln x - 1$.
Ответ: $F(x) = \ln x - 1$.

4) Для функции $f(x) = 2^x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ нужно найти такую первообразную $F(x)$, что $F(5) = 1$.
Найдем общий вид первообразной, используя формулу интегрирования показательной функции $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$:
$F(x) = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.
Используем условие $F(5) = 1$ для нахождения $C$.
Подставляем $x = 5$ в выражение для $F(x)$:
$F(5) = \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1$.
Так как $2^5 = 32$, получаем:
$\frac{32}{\ln 2} + C = 1$, откуда $C = 1 - \frac{32}{\ln 2}$.
Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 1 - \frac{32}{\ln 2}$.
Это выражение можно сгруппировать: $F(x) = \frac{2^x - 32}{\ln 2} + 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 1 - \frac{32}{\ln 2}$.