Номер 1, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 1, страница 158.

1. Что называют условной вероятностью?

Условной вероятностью события $A$ при условии, что произошло событие $B$, называют вероятность наступления события $A$, вычисленную в предположении, что событие $B$ уже наступило. Это понятие используется, когда наступление одного события влияет на вероятность наступления другого. Обозначается условная вероятность как $P(A|B)$ и читается как «вероятность $A$ при условии $B$».

Вычисляется условная вероятность по формуле:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
где $P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии наступления события $B$; $P(A \cap B)$ — вероятность совместного наступления (пересечения) событий $A$ и $B$; $P(B)$ — вероятность наступления события $B$. Важным условием является то, что вероятность события $B$ не должна быть равна нулю, то есть $P(B) > 0$.

Суть условной вероятности в том, что знание о произошедшем событии $B$ сужает пространство всех возможных исходов до тех, в которых $B$ наступило. Условная вероятность $P(A|B)$ — это доля тех исходов из нового, суженного пространства, в которых наступает и событие $A$.

Пример:

Бросают стандартный игральный кубик. Найдем вероятность того, что выпало число 4 (событие $A$), если известно, что выпало четное число (событие $B$).

Вероятность события $B$ (выпали числа 2, 4 или 6 из 6 возможных) равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие «выпало 4 и оно четное» ($A \cap B$) — это просто «выпало 4». Его вероятность $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

Тогда условная вероятность вычисляется по формуле:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$.

Этот результат интуитивно понятен: если мы знаем, что выпало четное число, то у нас есть только три равновозможных исхода {2, 4, 6}, и только один из них (число 4) является благоприятным для события $A$.

Ответ: Условная вероятность $P(A|B)$ — это вероятность наступления события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Она вычисляется по формуле $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ — вероятность одновременного наступления обоих событий, а $P(B)$ — вероятность события-условия (причем $P(B)>0$).