Номер 4, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 4, страница 158.

4. Какие два события называют зависимыми?

Два случайных события $A$ и $B$ называют зависимыми, если наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого. Иными словами, условная вероятность одного события при условии, что другое уже произошло, не равна его безусловной (изначальной) вероятности.

Математически это выражается так: события $A$ и $B$ являются зависимыми, если выполняется хотя бы одно из неравенств:
$P(B|A) \ne P(B)$
или
$P(A|B) \ne P(A)$
Здесь $P(B|A)$ — это условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Эквивалентное определение зависимости можно сформулировать через вероятность совместного наступления событий. События $A$ и $B$ зависимы, если вероятность их одновременного происхождения не равна произведению их индивидуальных вероятностей:
$P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)$

Пример:
Представим, что в коробке лежат 10 шаров: 7 красных и 3 синих. Из коробки последовательно, без возвращения, достают два шара.
Рассмотрим два события:
Событие A: первый вынутый шар — красный.
Событие B: второй вынутый шар — красный.

Вычислим вероятности:
1. Вероятность того, что первый шар будет красным (событие $A$), равна отношению числа красных шаров к общему числу шаров:
$P(A) = \frac{7}{10}$
2. Теперь найдем вероятность события $B$ (второй шар — красный) при условии, что событие $A$ уже произошло. Если первый шар был красным, то в коробке осталось 9 шаров, из которых 6 красных. Таким образом, условная вероятность события $B$ при условии $A$ равна:
$P(B|A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Сравним полученную условную вероятность $P(B|A) = \frac{2}{3}$ с безусловной вероятностью $P(B)$. Безусловная вероятность вынуть вторым красный шар (без знания о цвете первого) равна $\frac{7}{10}$ (по симметрии). Так как $P(B|A) = \frac{2}{3} \approx 0.67$, а $P(B) = \frac{7}{10} = 0.7$, то $P(B|A) \ne P(B)$.
Поскольку наступление события $A$ изменило вероятность наступления события $B$, эти события являются зависимыми.

Ответ: Два события называют зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Математически это означает, что условная вероятность события $B$ при условии наступления события $A$ не равна безусловной вероятности события $B$, то есть $P(B|A) \ne P(B)$.