Номер 18.1, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.1, страница 158.

18.1. Среди учеников вашего класса наугад выбрали одного. Найдите вероятность того, что выбранный ученик имеет отметку «Б» по алгебре, если известно, что выбрали мальчика.

Это задача на условную вероятность, поскольку требуется найти вероятность события при условии, что другое событие уже произошло.

Введем следующие обозначения для событий:
Событие $A$: выбранный ученик имеет отметку «5» по алгебре.
Событие $B$: выбранный ученик является мальчиком.

Мы ищем условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ наступило.

Так как в условии задачи не приведены конкретные числовые данные о классе, решим ее в общем виде. Для этого введем переменные:
Пусть $M$ – общее количество мальчиков в классе.
Пусть $M_5$ – количество мальчиков в классе, которые имеют отметку «5» по алгебре.

Условие «известно, что выбрали мальчика» означает, что наше пространство элементарных исходов сужается. Мы рассматриваем не всех учеников класса, а только мальчиков. Таким образом, общее число возможных исходов в нашем эксперименте равно общему количеству мальчиков, то есть $M$.

Благоприятным исходом является выбор ученика, который является мальчиком и имеет отметку «5» по алгебре. Число таких благоприятных исходов равно $M_5$.

По классическому определению, вероятность события – это отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов. В нашем случае, искомая вероятность равна: $P(A|B) = \frac{\text{число мальчиков с отметкой «5»}}{\text{общее число мальчиков}} = \frac{M_5}{M}$.

Этот же результат можно получить, используя формальную формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Пусть $N$ – общее количество всех учеников в классе.
Вероятность выбрать мальчика (событие $B$) из всего класса равна $P(B) = \frac{M}{N}$.
Вероятность выбрать ученика, который является мальчиком и имеет «5» по алгебре (пересечение событий $A$ и $B$), равна $P(A \cap B) = \frac{M_5}{N}$.
Тогда условная вероятность: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{M_5 / N}{M / N} = \frac{M_5}{M}$.
Как мы видим, оба подхода приводят к одинаковому результату.

Пример для иллюстрации:
Предположим, в классе 30 учеников, среди них 12 мальчиков ($M=12$). Из этих мальчиков 3 имеют отметку «5» по алгебре ($M_5=3$).
Тогда вероятность того, что случайно выбранный ученик окажется с «5» по алгебре, если известно, что это мальчик, составляет: $P = \frac{M_5}{M} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$.

Ответ: Вероятность того, что выбранный ученик имеет отметку «5» по алгебре, при условии, что это мальчик, равна отношению количества мальчиков с отметкой «5» по алгебре к общему количеству мальчиков в классе. Если обозначить общее количество мальчиков в классе как $M$, а количество мальчиков с отметкой «5» по алгебре как $M_5$, то искомая вероятность равна $\frac{M_5}{M}$.