Номер 3, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 3, страница 158.

3. Какие два события называют независимыми?

Два события в теории вероятностей называют независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Иными словами, знание о том, что одно событие произошло, не дает нам никакой новой информации о шансах произойти другого события.

Более строго, с математической точки зрения, два события $A$ и $B$ являются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (то есть, пересечения событий $A$ и $B$) равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Это выражается формулой:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
где $P(A)$ — вероятность события $A$, $P(B)$ — вероятность события $B$, а $P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут оба события.

Эквивалентное определение связано с условной вероятностью: событие $A$ не зависит от события $B$, если условная вероятность $A$ при условии, что $B$ уже произошло, равна безусловной вероятности $A$.
$P(A|B) = P(A)$
Аналогично, $P(B|A) = P(B)$. Это определение наиболее точно отражает интуитивное понятие независимости.

Пример:
Рассмотрим два случайных эксперимента: подбрасывание монеты и бросок игрального кубика.
Пусть событие $A$ — «выпал орёл». Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{2}$.
Пусть событие $B$ — «на кубике выпало 6 очков». Вероятность этого события $P(B) = \frac{1}{6}$.
Эти события интуитивно независимы: результат броска кубика не зависит от результата подбрасывания монеты, и наоборот. Проверим это по формуле.
Вероятность того, что одновременно выпадет орёл И на кубике будет 6 очков, равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
Мы можем проверить это, перечислив все возможные исходы: всего исходов $2 \times 6 = 12$ (Орёл-1, Орёл-2, ..., Решка-6). Благоприятный исход только один (Орёл-6). Таким образом, вероятность действительно равна $\frac{1}{12}$. Так как равенство выполняется, события $A$ и $B$ независимы.

В отличие от этого, зависимыми событиями был бы, например, выбор двух карт из колоды без возвращения. Вероятность вытащить вторую карту определенного достоинства зависит от того, какая карта была вытащена первой.

Ответ: Два события называют независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это означает, что наступление одного события не изменяет вероятность наступления другого.