Страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.28. Среди лотерейных билетов $10\%$ выигрышных. Игрок приобрёл 3 билета. Какова вероятность того, что среди купленных билетов:

1) не будет выигрышных;

2) будет ровно один выигрышный;

3) будет ровно два выигрышных;

4) будут все выигрышные?

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Покупка каждого билета является таким испытанием.
Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:

• $n=3$ – общее число купленных билетов;
• $k$ – число выигрышных билетов;
• $p=0.1$ – вероятность выигрыша для одного билета (10%);
• $q=1-p=0.9$ – вероятность проигрыша для одного билета;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из $n$).

1) не будет выигрышных;

В этом случае число выигрышных билетов $k=0$. Мы ищем вероятность того, что все 3 билета невыигрышные.
Подставим значения в формулу Бернулли:
$P_3(0) = C_3^0 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{3-0} = \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot 1 \cdot (0.9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.729 = 0.729$.

Ответ: 0,729

2) будет ровно один выигрышный;

Здесь число выигрышных билетов $k=1$. Это означает, что один билет выигрышный, а два — нет.
Рассчитаем вероятность по формуле:
$P_3(1) = C_3^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{3-1} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 0.1 \cdot (0.9)^2 = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 0.243$.

Ответ: 0,243

3) будет ровно два выигрышных;

В этом случае число выигрышных билетов $k=2$.
Применим формулу Бернулли:
$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{3-2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot (0.1)^2 \cdot 0.9 = 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 0.027$.

Ответ: 0,027

4) будут все выигрышные?

Здесь все три билета выигрышные, то есть $k=3$.
Вычисляем вероятность:
$P_3(3) = C_3^3 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^{3-3} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot (0.1)^3 \cdot 1 = 1 \cdot 0.001 \cdot 1 = 0.001$.

Ответ: 0,001

Проверка: Сумма вероятностей всех возможных исходов (0, 1, 2 или 3 выигрышных билета) должна быть равна единице, так как эти события образуют полную группу.
$P_3(0) + P_3(1) + P_3(2) + P_3(3) = 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.000$.
Расчеты верны.

18.29. Вероятность того, что футбольный матч между командами $A$ и $B$ завершится вничью, составляет $50\%$. Вероятность победы команды $A$ равна $20\%$, а команды $B$ — $30\%$. Команды $A$ и $B$ планируют провести серию из четырёх матчей между собой. Какова вероятность того, что:

1) все матчи закончатся вничью;

2) команда $B$ не проиграет ни одного матча;

3) команда $A$ победит только во втором матче;

4) команда $A$ победит только один раз в серии матчей?

Для решения задачи определим вероятности основных исходов для одного матча, исходя из условия:

• Вероятность того, что матч завершится вничью (событие Н): $P(Н) = 50\% = 0.5$
• Вероятность победы команды А (событие П_А): $P(П_А) = 20\% = 0.2$
• Вероятность победы команды В (событие П_В): $P(П_В) = 30\% = 0.3$

Проверим, что эти исходы составляют полную группу событий: $0.5 + 0.2 + 0.3 = 1$. Серия состоит из четырёх матчей, исходы которых являются независимыми событиями.

1) все матчи закончатся вничью;

Для того чтобы все четыре матча закончились вничью, необходимо, чтобы каждый из них завершился с этим исходом. Поскольку матчи независимы, вероятность такой серии событий равна произведению вероятностей ничьей в каждом матче.

Вероятность ничьей в одном матче: $P(Н) = 0.5$.
Вероятность того, что все четыре матча закончатся вничью, вычисляется как: $P(\text{4 ничьи}) = P(Н) \times P(Н) \times P(Н) \times P(Н) = (P(Н))^4 = (0.5)^4$

$ (0.5)^4 = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.0625 $

Ответ: $0.0625$ (или $6.25\%$).

2) команда B не проиграет ни одного матча;

Событие "команда В не проиграет" означает, что матч закончится либо победой команды В, либо вничью. Вероятность этого события для одного матча является суммой вероятностей этих двух исходов: $P(\text{В не проиграет}) = P(П_В) + P(Н) = 0.3 + 0.5 = 0.8$

Чтобы команда В не проиграла ни одного матча в серии, это событие должно произойти в каждом из четырёх независимых матчей. Поэтому итоговая вероятность равна произведению вероятностей: $P(\text{В не проиграет в 4 матчах}) = (P(\text{В не проиграет}))^4 = (0.8)^4$

$(0.8)^4 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.4096$

Ответ: $0.4096$ (или $40.96\%$).

3) команда А победит только во втором матче;

Это условие описывает строго определённую последовательность исходов для четырёх матчей:

• Матч 1: команда А не победила.
• Матч 2: команда А победила.
• Матч 3: команда А не победила.
• Матч 4: команда А не победила.

Вероятность победы команды А: $P(П_А) = 0.2$.
Вероятность того, что команда А не победит, является вероятностью противоположного события: $P(\text{не П}_А) = 1 - P(П_А) = 1 - 0.2 = 0.8$.

Вероятность заданной последовательности событий равна произведению их отдельных вероятностей: $P = P(\text{не П}_А) \times P(П_А) \times P(\text{не П}_А) \times P(\text{не П}_А) = 0.8 \times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 = 0.2 \times (0.8)^3$

$0.2 \times (0.8)^3 = 0.2 \times 0.512 = 0.1024$

Ответ: $0.1024$ (или $10.24\%$).

4) команда А победит только один раз в серии матчей?

Это событие означает, что команда А одерживает ровно одну победу в серии из четырёх матчей. В отличие от предыдущего пункта, эта победа может произойти в любом из четырёх матчей. Данная ситуация описывается схемой испытаний Бернулли.

Вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях рассчитывается по формуле: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Где:

• $n=4$ — общее число матчей.
• $k=1$ — число побед команды А (успехов).
• $p = P(П_А) = 0.2$ — вероятность победы А в одном матче.
• $q = P(\text{не П}_А) = 1 - p = 0.8$ — вероятность того, что А не победит.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ "успешных" матчей из $n$.

Вычисляем число сочетаний: $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$

Это значит, что существует 4 равновероятных сценария, при которых А побеждает ровно один раз (победа в 1-м матче, или во 2-м, или в 3-м, или в 4-м). Вероятность каждого такого сценария, как мы выяснили в пункте 3, равна $0.2 \cdot (0.8)^3 = 0.1024$.

Итоговая вероятность равна произведению числа сочетаний на вероятность одного конкретного сценария: $P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^{4-1} = 4 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.1024 = 0.4096$

Ответ: $0.4096$ (или $40.96\%$).

18.30. Электрический блок (рис. 18.10) работает безотказно в течение года с вероятностью $p$. Для увеличения надежности электрический блок дублируют ещё одним таким же блоком так, что полученная система работает, когда работает, по крайней мере, один из блоков (рис. 18.11). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы другого блока?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей.

Пусть $A$ — это событие, заключающееся в том, что первый электрический блок работает безотказно в течение года, и $B$ — событие, что второй блок работает безотказно в течение года.

По условию, вероятность безотказной работы одного блока равна $p$:
$P(A) = p$
$P(B) = p$

Система работает, если работает хотя бы один из блоков. Это означает, что нас интересует вероятность события $A \cup B$ (работает блок A, ИЛИ работает блок B, ИЛИ работают оба).

Проще всего найти эту вероятность через противоположное событие. Противоположное событие для «работает хотя бы один блок» — это «не работает ни один блок», то есть оба блока вышли из строя.

Найдем вероятность того, что один блок выйдет из строя. Это событие, противоположное безотказной работе. Обозначим его как $\overline{A}$ для первого блока и $\overline{B}$ для второго.
Вероятность отказа первого блока: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - p$.
Вероятность отказа второго блока: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - p$.

Поскольку поломки блоков происходят независимо, вероятность того, что оба блока выйдут из строя одновременно, равна произведению их вероятностей:
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^2$.

Это вероятность полного отказа системы. Вероятность безотказной работы системы (т.е. что работает хотя бы один блок) будет равна единице минус вероятность полного отказа:
$P_{\text{системы}} = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - (1 - p)^2$.

Это выражение можно также упростить, раскрыв скобки:
$1 - (1 - 2p + p^2) = 1 - 1 + 2p - p^2 = 2p - p^2$.

Ответ: $1 - (1 - p)^2$ (или $2p - p^2$).

18.31. Электрический блок (см. рис. 18.10) работает безотказно в течение года с вероятностью $p$. Для увеличения надёжности электрический блок дублируют ещё тремя такими же блоками так, что полученная система работает, когда работает, по крайней мере, один из блоков (рис. 18.12). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы других блоков?

Рис. 18.10

$p$

Рис. 18.11

$p$
$p$

Рис. 18.12

$p$
$p$
$p$
$p$

Пусть событие $A$ заключается в том, что один электрический блок работает безотказно в течение года. По условию задачи, вероятность этого события $P(A) = p$.

Тогда вероятность противоположного события $ \overline{A} $, то есть поломки одного блока в течение года, равна $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - p$.

Система состоит из четырех одинаковых блоков, соединенных параллельно. Такая система работает, если работает хотя бы один из составляющих ее блоков. Поломки блоков происходят независимо друг от друга.

Для нахождения вероятности безотказной работы системы удобно использовать метод вычисления через противоположное событие. Противоположным событием к "система работает" (т.е. "работает хотя бы один блок") является событие "система не работает" (т.е. "не работает ни один блок" или "все четыре блока сломались").

Обозначим событие $B$ - "система вышла из строя". Это событие наступает тогда и только тогда, когда все четыре блока выходят из строя одновременно. Поскольку поломки блоков являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.

Вероятность поломки первого блока: $1 - p$.
Вероятность поломки второго блока: $1 - p$.
Вероятность поломки третьего блока: $1 - p$.
Вероятность поломки четвертого блока: $1 - p$.

Вероятность того, что все четыре блока сломаются, равна: $P(B) = (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^4$.

Вероятность безотказной работы системы, обозначим ее $P(C)$, является вероятностью события, противоположного событию $B$. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1: $P(C) + P(B) = 1$.

Отсюда находим искомую вероятность безотказной работы системы: $P(C) = 1 - P(B) = 1 - (1 - p)^4$.

Ответ: $1 - (1 - p)^4$