Номер 18.29, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Упражнения - номер 18.29, страница 162.

Учебник.

18.29. Вероятность того, что футбольный матч между командами $A$ и $B$ завершится вничью, составляет $50\%$. Вероятность победы команды $A$ равна $20\%$, а команды $B$ — $30\%$. Команды $A$ и $B$ планируют провести серию из четырёх матчей между собой. Какова вероятность того, что:

1) все матчи закончатся вничью;

2) команда $B$ не проиграет ни одного матча;

3) команда $A$ победит только во втором матче;

4) команда $A$ победит только один раз в серии матчей?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи определим вероятности основных исходов для одного матча, исходя из условия:

• Вероятность того, что матч завершится вничью (событие Н): $P(Н) = 50\% = 0.5$
• Вероятность победы команды А (событие П_А): $P(П_А) = 20\% = 0.2$
• Вероятность победы команды В (событие П_В): $P(П_В) = 30\% = 0.3$

Проверим, что эти исходы составляют полную группу событий: $0.5 + 0.2 + 0.3 = 1$. Серия состоит из четырёх матчей, исходы которых являются независимыми событиями.

1) все матчи закончатся вничью;

Для того чтобы все четыре матча закончились вничью, необходимо, чтобы каждый из них завершился с этим исходом. Поскольку матчи независимы, вероятность такой серии событий равна произведению вероятностей ничьей в каждом матче.

Вероятность ничьей в одном матче: $P(Н) = 0.5$.
Вероятность того, что все четыре матча закончатся вничью, вычисляется как: $P(\text{4 ничьи}) = P(Н) \times P(Н) \times P(Н) \times P(Н) = (P(Н))^4 = (0.5)^4$

$ (0.5)^4 = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.0625 $

Ответ: $0.0625$ (или $6.25\%$).

2) команда B не проиграет ни одного матча;

Событие "команда В не проиграет" означает, что матч закончится либо победой команды В, либо вничью. Вероятность этого события для одного матча является суммой вероятностей этих двух исходов: $P(\text{В не проиграет}) = P(П_В) + P(Н) = 0.3 + 0.5 = 0.8$

Чтобы команда В не проиграла ни одного матча в серии, это событие должно произойти в каждом из четырёх независимых матчей. Поэтому итоговая вероятность равна произведению вероятностей: $P(\text{В не проиграет в 4 матчах}) = (P(\text{В не проиграет}))^4 = (0.8)^4$

$(0.8)^4 = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.4096$

Ответ: $0.4096$ (или $40.96\%$).

3) команда А победит только во втором матче;

Это условие описывает строго определённую последовательность исходов для четырёх матчей:

• Матч 1: команда А не победила.
• Матч 2: команда А победила.
• Матч 3: команда А не победила.
• Матч 4: команда А не победила.

Вероятность победы команды А: $P(П_А) = 0.2$.
Вероятность того, что команда А не победит, является вероятностью противоположного события: $P(\text{не П}_А) = 1 - P(П_А) = 1 - 0.2 = 0.8$.

Вероятность заданной последовательности событий равна произведению их отдельных вероятностей: $P = P(\text{не П}_А) \times P(П_А) \times P(\text{не П}_А) \times P(\text{не П}_А) = 0.8 \times 0.2 \times 0.8 \times 0.8 = 0.2 \times (0.8)^3$

$0.2 \times (0.8)^3 = 0.2 \times 0.512 = 0.1024$

Ответ: $0.1024$ (или $10.24\%$).

4) команда А победит только один раз в серии матчей?

Это событие означает, что команда А одерживает ровно одну победу в серии из четырёх матчей. В отличие от предыдущего пункта, эта победа может произойти в любом из четырёх матчей. Данная ситуация описывается схемой испытаний Бернулли.

Вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях рассчитывается по формуле: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Где:

• $n=4$ — общее число матчей.
• $k=1$ — число побед команды А (успехов).
• $p = P(П_А) = 0.2$ — вероятность победы А в одном матче.
• $q = P(\text{не П}_А) = 1 - p = 0.8$ — вероятность того, что А не победит.
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ "успешных" матчей из $n$.

Вычисляем число сочетаний: $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$

Это значит, что существует 4 равновероятных сценария, при которых А побеждает ровно один раз (победа в 1-м матче, или во 2-м, или в 3-м, или в 4-м). Вероятность каждого такого сценария, как мы выяснили в пункте 3, равна $0.2 \cdot (0.8)^3 = 0.1024$.

Итоговая вероятность равна произведению числа сочетаний на вероятность одного конкретного сценария: $P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^{4-1} = 4 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.1024 = 0.4096$

Ответ: $0.4096$ (или $40.96\%$).