Номер 18.34, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.34, страница 163.

18.34. Стрелок делает 5 последовательных выстрелов (каждый выстрел не зависит от результатов остальных выстрелов). Какова вероятность того, что стрелок попадёт в мишень только при первых трёх выстрелах, если он попадает в мишень с вероятностью $p$?

По условию задачи, вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет $p$.

Событие "промах" является противоположным событию "попадание", поэтому его вероятность равна $1 - p$.

Нам необходимо найти вероятность события, при котором стрелок попадает в мишень только при первых трёх выстрелах из пяти. Это означает, что должна произойти следующая конкретная последовательность из пяти исходов:
- 1-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 2-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 3-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 4-й выстрел: промах (вероятность $1-p$)
- 5-й выстрел: промах (вероятность $1-p$)

В условии указано, что каждый выстрел не зависит от результатов остальных, то есть все пять событий являются независимыми. Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей.

Следовательно, искомая вероятность $P$ вычисляется как произведение вероятностей этих пяти исходов:
$P = \underbrace{p \cdot p \cdot p}_{\text{три попадания}} \cdot \underbrace{(1 - p) \cdot (1 - p)}_{\text{два промаха}}$

Упрощая это выражение, получаем итоговую формулу:
$P = p^3 (1 - p)^2$

Ответ: $p^3(1-p)^2$