Страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.32. Запишите третий член разложения выражения $ (p + q)^5 $ по формуле бинома Ньютона. В полученное выражение подставьте $ 1 - p $ вместо $ q $.

Для нахождения члена разложения бинома $(a+b)^n$ используется формула бинома Ньютона. Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В нашем случае дано выражение $(p+q)^5$. Здесь $a=p$, $b=q$, $n=5$.

1. Найдём третий член разложения.

Для третьего члена $k+1=3$, следовательно, $k=2$.

Подставим значения в формулу общего члена:

$T_3 = C_5^2 p^{5-2} q^2 = C_5^2 p^3 q^2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Таким образом, третий член разложения равен $10p^3q^2$.

2. Подставим $1-p$ вместо $q$.

Теперь в полученное выражение $10p^3q^2$ подставим $q = 1-p$:

$10p^3(1-p)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$10p^3(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot p + p^2) = 10p^3(1 - 2p + p^2)$.

Теперь умножим $10p^3$ на каждый член в скобках:

$10p^3 \cdot 1 - 10p^3 \cdot 2p + 10p^3 \cdot p^2 = 10p^3 - 20p^4 + 10p^5$.

Для стандартной записи расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $p$:

$10p^5 - 20p^4 + 10p^3$.

Ответ: $10p^5 - 20p^4 + 10p^3$.

18.33. Сколько пятибуквенных «слов» можно записать, используя в каждом слове 3 буквы «У» и 2 буквы «Н»?

18.33. Задача заключается в нахождении количества уникальных перестановок для набора букв, в котором есть повторения. У нас есть 5 позиций в слове, которые нужно заполнить тремя буквами «У» и двумя буквами «Н».

Эту задачу можно решить, используя формулу для числа перестановок с повторениями: $P(n_1, n_2, ...) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...}$ где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, ...$ — количество одинаковых элементов каждого типа.

В нашем случае общее количество букв $n = 5$. Из них $n_1 = 3$ (буквы «У») и $n_2 = 2$ (буквы «Н»).

Подставим значения в формулу: $P(3, 2) = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$

Теперь рассчитаем значение выражения, зная, что $5! = 120$, $3! = 6$ и $2! = 2$: $P(3, 2) = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$

Также можно подойти к задаче с точки зрения комбинаторики, используя сочетания. Нам нужно выбрать 3 позиции для букв «У» из 5 доступных. Поскольку все буквы «У» идентичны, порядок их выбора не важен. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 3: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

После того как 3 позиции для букв «У» выбраны, оставшиеся 2 позиции автоматически занимают буквы «Н». Таким образом, общее количество различных слов равно 10.

Ответ: 10

18.34. Стрелок делает 5 последовательных выстрелов (каждый выстрел не зависит от результатов остальных выстрелов). Какова вероятность того, что стрелок попадёт в мишень только при первых трёх выстрелах, если он попадает в мишень с вероятностью $p$?

По условию задачи, вероятность попадания в мишень при одном выстреле составляет $p$.

Событие "промах" является противоположным событию "попадание", поэтому его вероятность равна $1 - p$.

Нам необходимо найти вероятность события, при котором стрелок попадает в мишень только при первых трёх выстрелах из пяти. Это означает, что должна произойти следующая конкретная последовательность из пяти исходов:
- 1-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 2-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 3-й выстрел: попадание (вероятность $p$)
- 4-й выстрел: промах (вероятность $1-p$)
- 5-й выстрел: промах (вероятность $1-p$)

В условии указано, что каждый выстрел не зависит от результатов остальных, то есть все пять событий являются независимыми. Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей.

Следовательно, искомая вероятность $P$ вычисляется как произведение вероятностей этих пяти исходов:
$P = \underbrace{p \cdot p \cdot p}_{\text{три попадания}} \cdot \underbrace{(1 - p) \cdot (1 - p)}_{\text{два промаха}}$

Упрощая это выражение, получаем итоговую формулу:
$P = p^3 (1 - p)^2$

Ответ: $p^3(1-p)^2$