Номер 19.5, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.5, страница 167.

19.5. Какова вероятность того, что из 5 бросков игрального кубика шестёрка выпадет ровно 2 раза?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

В этой формуле: $n$ — общее количество испытаний (бросков кубика), $k$ — количество «успешных» исходов (выпадений шестёрки), $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность выпадения шестёрки при одном броске), $q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании (вероятность невыпадения шестёрки), равная $1 - p$, а $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В условиях данной задачи имеем следующие параметры: $n = 5$ (всего 5 бросков); $k = 2$ (шестёрка должна выпасть ровно 2 раза); $p = \frac{1}{6}$ (вероятность выпадения шестёрки на стандартном кубике); $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ (вероятность того, что выпадет любая другая грань).

Сначала рассчитаем число сочетаний $C_5^2$ — количество способов, которыми могут выпасть две шестёрки в серии из пяти бросков: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли, чтобы найти искомую вероятность: $P_5(2) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot q^{5-2} = 10 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Выполним вычисления: $P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 1 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$.

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$. Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель $625 = 5^4$, а знаменатель 3888 на 5 не делится.

Ответ: $\frac{625}{3888}$.