Номер 19.11, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 19. Схема Бернулли. Упражнения - номер 19.11, страница 168.

Учебник.

19.11. При игре в теннис Андрей в среднем выигрывает у Сергея 3 гейма из 5. Какова вероятность того, что из 6 геймов Андрей выиграет ровно 2 гейма?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли выглядит так: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:
$n$ — это общее количество испытаний (в данном случае, общее число геймов);
$k$ — это желаемое число "успехов" (количество геймов, которые выиграет Андрей);
$p$ — это вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность того, что Андрей выиграет один гейм);
$q$ — это вероятность "неудачи", то есть проигрыша, в одном испытании ($q = 1 - p$).

Исходя из условия задачи, определим значения этих переменных:
Общее число геймов: $n = 6$.
Требуемое число выигранных Андреем геймов: $k = 2$.
По условию, Андрей выигрывает в среднем 3 гейма из 5. Значит, вероятность выигрыша в одном гейме: $p = \frac{3}{5}$.
Соответственно, вероятность проигрыша в одном гейме: $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_6(2) = C_6^2 \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot (\frac{2}{5})^{6-2} = C_6^2 \cdot (\frac{3}{5})^2 \cdot (\frac{2}{5})^4$.

Рассчитаем каждую часть выражения по отдельности.
1. Число сочетаний $C_6^2$ (количество способов, которыми Андрей может выиграть ровно 2 гейма из 6):
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
2. Рассчитаем степени вероятностей:
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{16}{625}$.

Осталось перемножить полученные значения:
$P_6(2) = 15 \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{625}$.

Выполним вычисления и упростим выражение:
$P_6(2) = \frac{15 \cdot 9 \cdot 16}{25 \cdot 625} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot 9 \cdot 16}{(5 \cdot 5) \cdot 625} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 16}{5 \cdot 625} = \frac{27 \cdot 16}{3125} = \frac{432}{3125}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби:
$\frac{432}{3125} = 0.13824$.

Ответ: $\frac{432}{3125}$ или $0.13824$.