Номер 19.18, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.18, страница 168.

19.18. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 - x^2 + 4x};$

2) $\sqrt{\frac{2x - 3}{4x - 1}} \ge \sqrt{\frac{x - 2}{x + 2}}.$

1) Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 5x} < \sqrt{1 - x^2 + 4x}$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение левой части неотрицательно, а подкоренное выражение правой части строго больше, чем левой. Условие неотрицательности правой части ($1 - x^2 + 4x \ge 0$) выполняется автоматически, так как она больше неотрицательного выражения.

$$ \begin{cases} x^2 + 5x \ge 0 \\ 1 - x^2 + 4x > x^2 + 5x \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы: $x^2 + 5x \ge 0$. Разложив на множители, получаем $x(x+5) \ge 0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x+5)=0$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 0$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5] \cup [0, \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $1 - x^2 + 4x > x^2 + 5x$. Перенесем все члены в правую часть: $0 > 2x^2 + x - 1$, или $2x^2 + x - 1 < 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2x^2 + x - 1 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, -5] \cup [0, \infty)$ и $(-1, \frac{1}{2})$. Пересечением этих множеств является промежуток $[0, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in [0, \frac{1}{2})$.

2) Решим неравенство $\sqrt{\frac{2x - 3}{4x - 1}} \ge \sqrt{\frac{x - 2}{x + 2}}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение правой части неотрицательно, а подкоренное выражение левой части не меньше, чем правой. Условие неотрицательности левой части ($\frac{2x - 3}{4x - 1} \ge 0$) выполняется автоматически, так как $f(x) \ge g(x)$ и $g(x) \ge 0$.

$$ \begin{cases} \frac{x - 2}{x + 2} \ge 0 \\ \frac{2x - 3}{4x - 1} \ge \frac{x - 2}{x + 2} \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы (которое задает область определения): $\frac{x - 2}{x + 2} \ge 0$. Методом интервалов находим, что нуль числителя $x=2$ (включается в решение), нуль знаменателя $x=-2$ (исключается). Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2) \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство системы: $\frac{2x - 3}{4x - 1} - \frac{x - 2}{x + 2} \ge 0$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x - 3)(x + 2) - (x - 2)(4x - 1)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ \frac{(2x^2 + 4x - 3x - 6) - (4x^2 - x - 8x + 2)}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

$$ \frac{2x^2 + x - 6 - 4x^2 + 9x - 2}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

$$ \frac{-2x^2 + 10x - 8}{(4x - 1)(x + 2)} \ge 0 $$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{2x^2 - 10x + 8}{(4x - 1)(x + 2)} \le 0 $$

Разделим числитель на 2 и разложим его на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$. Неравенство примет вид:

$$ \frac{(x-1)(x-4)}{(4x - 1)(x + 2)} \le 0 $$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение): $x=1, x=4$. Корни знаменателя (исключаются): $x=-2, x=1/4$. Нанеся точки на числовую ось и определив знаки на интервалах, получим решение: $x \in (-2, 1/4) \cup [1, 4]$.

В завершение найдем пересечение решений обоих неравенств системы: $(-\infty, -2) \cup [2, \infty)$ и $(-2, 1/4) \cup [1, 4]$. Пересечением этих двух множеств является промежуток $[2, 4]$.

Ответ: $x \in [2, 4]$.