Номер 6, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 6, страница 174.

6. Чему равно математическое ожидание количества успехов в схеме Бернулли?

Схема Бернулли — это последовательность из $n$ независимых одинаковых испытаний, каждое из которых имеет ровно два исхода: "успех" и "неудача". Вероятность "успеха", обозначаемая как $p$, постоянна для всех испытаний. Вероятность "неудачи", соответственно, равна $q = 1 - p$.

Случайная величина $X$, равная количеству успехов в $n$ испытаниях, подчиняется биномиальному распределению. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ успехов, определяется формулой Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Математическое ожидание (или среднее значение) $E[X]$ для дискретной случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Рассмотрим два способа нахождения математического ожидания для количества успехов в схеме Бернулли.

Способ 1: Прямой расчёт по определению

По определению, математическое ожидание $E[X]$ вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k p^k q^{n-k}$

Член суммы при $k=0$ равен нулю ($0 \cdot P(X=0) = 0$), поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

Сократим $k$ в числителе с $k!$ в знаменателе ($k/k! = 1/(k-1)!$):

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

Вынесем $n$ и $p$ за знак суммы, представив $n! = n \cdot (n-1)!$ и $p^k = p \cdot p^{k-1}$:

$E[X] = \sum_{k=1}^{n} \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p \cdot p^{k-1} q^{n-k} = np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1} q^{n-k}$

Выражение $\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$ является биномиальным коэффициентом $C_{n-1}^{k-1}$. Сделаем замену переменных в сумме: пусть $j = k-1$ и $m = n-1$. Тогда, когда $k$ изменяется от 1 до $n$, новая переменная $j$ изменяется от 0 до $m$.

$E[X] = np \sum_{j=0}^{m} C_{m}^{j} p^{j} q^{m-j}$

Полученная сумма $\sum_{j=0}^{m} C_{m}^{j} p^{j} q^{m-j}$ является разложением бинома Ньютона для выражения $(p+q)^m$.

Так как по определению $p+q=1$, то $(p+q)^m = 1^m = 1$.

Таким образом, мы получаем итоговый результат:

$E[X] = np \cdot 1 = np$

Способ 2: Использование индикаторных случайных величин

Этот способ является более простым и интуитивным. Представим общее число успехов $X$ как сумму результатов отдельных испытаний. Для этого введем $n$ индикаторных случайных величин $X_1, X_2, \ldots, X_n$, где каждая $X_i$ описывает исход $i$-го испытания:

• $X_i = 1$, если в $i$-м испытании произошел "успех" (вероятность этого равна $p$).
• $X_i = 0$, если в $i$-м испытании произошла "неудача" (вероятность этого равна $q=1-p$).

Тогда общее число успехов $X$ есть сумма этих индикаторных величин:

$X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Найдем математическое ожидание для одной такой индикаторной величины $X_i$:

$E[X_i] = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$

Ключевым свойством математического ожидания является его линейность: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий ($E[A+B] = E[A] + E[B]$). Применим это свойство к нашей сумме:

$E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i]$

Поскольку для каждого испытания $E[X_i] = p$, мы получаем:

$E[X] = \underbrace{p + p + \ldots + p}_{n \text{ слагаемых}} = np$

Оба метода приводят к одному и тому же результату: математическое ожидание количества успехов в схеме Бернулли равно произведению числа испытаний на вероятность успеха в одном испытании.

Ответ: $np$