Номер 3, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 3, страница 174.

3. Что называют распределением вероятностей случайной величины?

Распределением вероятностей случайной величины (или законом распределения) называют любое правило (функцию, таблицу, график), которое устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Это правило полностью описывает поведение случайной величины с вероятностной точки зрения.

Способ задания распределения зависит от типа случайной величины, которые бывают дискретными и непрерывными.

1. Для дискретной случайной величины (ДСВ)

Дискретная случайная величина — это величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения (конечное или счетное множество). Для нее распределение вероятностей чаще всего задается с помощью ряда распределения. Это таблица, в которой каждому возможному значению $x_i$ случайной величины $X$ сопоставляется соответствующая вероятность $p_i = P(X = x_i)$.

Ряд распределения имеет следующий вид:

$X$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

Основное свойство ряда распределения — сумма всех вероятностей равна единице (условие нормировки):

$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$

2. Для непрерывной случайной величины (НСВ)

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное значение, равна нулю ($P(X=x)=0$). Поэтому для описания ее распределения используют функции.

а) Функция распределения (или интегральная функция распределения) $F(x)$. Она определяет для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее чем $x$:

$F(x) = P(X < x)$

Функция распределения является универсальным способом задания закона распределения и существует как для дискретных, так и для непрерывных величин.

б) Плотность распределения вероятностей (или дифференциальная функция распределения) $f(x)$. Она определяется как производная от функции распределения:

$f(x) = F'(x)$

Плотность распределения $f(x)$ характеризует, насколько "плотно" вероятности сконцентрированы в окрестности точки $x$. Вероятность попадания случайной величины в интервал $(a, b)$ вычисляется как интеграл от плотности распределения на этом интервале: $P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Основное свойство плотности распределения — интеграл от нее по всей числовой оси равен единице (условие нормировки):

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$

Ответ: Распределение вероятностей случайной величины — это закон, описывающий связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретных величин он обычно задается рядом распределения (таблицей значений и вероятностей), а для непрерывных — функцией распределения $F(x)$ или плотностью распределения вероятностей $f(x)$.