Номер 19.14, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.14, страница 168.

19.14. В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входят 6 человек. На основании выступлений российских школьников на олимпиадах прошлых лет был сделан вывод, что вероятность российского школьника получить золотую медаль на олимпиаде составляет около 65%. Оцените вероятность того, что на очередной Международной математической олимпиаде команда России завоюет не менее 5 золотых медалей.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Бернулли, поскольку речь идет о серии независимых испытаний (выступление каждого из 6 членов команды), где каждое испытание имеет два исхода: «успех» (получение золотой медали) и «неудача».

Введем обозначения:
$n = 6$ — общее число испытаний (количество школьников в команде).
$p = 0,65$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность, что один школьник получит золотую медаль).
$q = 1 - p = 1 - 0,65 = 0,35$ — вероятность неудачи (вероятность, что школьник не получит золотую медаль).

Нам необходимо найти вероятность того, что команда завоюет «не менее 5 золотых медалей». Это событие означает, что команда получит либо ровно 5, либо ровно 6 медалей. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:
$P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Рассчитаем вероятность для каждого случая.

Вероятность получения ровно 5 золотых медалей ($k=5$):
$P_6(5) = C_6^5 \cdot (0,65)^5 \cdot (0,35)^{6-5} = \frac{6!}{5!1!} \cdot (0,65)^5 \cdot (0,35)^1 = 6 \cdot (0,65)^5 \cdot 0,35$
$P_6(5) \approx 6 \cdot 0,11603 \cdot 0,35 \approx 0,24366$

Вероятность получения ровно 6 золотых медалей ($k=6$):
$P_6(6) = C_6^6 \cdot (0,65)^6 \cdot (0,35)^{6-6} = \frac{6!}{6!0!} \cdot (0,65)^6 \cdot (0,35)^0 = 1 \cdot (0,65)^6 \cdot 1$
$P_6(6) \approx 0,07542$

Теперь найдем искомую вероятность, сложив полученные значения:
$P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6) \approx 0,24366 + 0,07542 = 0,31908$

Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем примерно $0,3191$.
Ответ: Вероятность того, что команда России завоюет не менее 5 золотых медалей, составляет примерно $0,3191$ (или $31,91\%$).