Номер 18.9, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.9, страница 159.

18.9. Известно, что $P_A(B) = 0,5$, $P_B(A) = 0,75$ и $P(A \cap B) = 0,25$. Найдите:

1) $P(A)$;

2) $P(B)$;

3) $P(A \cup B)$.

1) P(A);
Для нахождения $P(A)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Выразим из нее искомую вероятность $P(A)$:
$P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)}$
Подставим известные значения из условия: $P(A \cap B) = 0,25$ и $P_A(B) = 0,5$.
$P(A) = \frac{0,25}{0,5} = 0,5$.
Ответ: $0,5$

2) P(B);
Для нахождения $P(B)$ также воспользуемся формулой условной вероятности: $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Выразим из нее искомую вероятность $P(B)$:
$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_B(A)}$
Подставим известные значения: $P(A \cap B) = 0,25$ и $P_B(A) = 0,75$.
$P(B) = \frac{0,25}{0,75} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3) P(A ∪ B);
Для нахождения вероятности объединения событий $A$ и $B$ используем теорему сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Подставим ранее найденные значения $P(A) = 0,5$ и $P(B) = \frac{1}{3}$, а также данное в условии значение $P(A \cap B) = 0,25$:
$P(A \cup B) = 0,5 + \frac{1}{3} - 0,25$
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P(A \cup B) = \frac{1 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{6 + 4 - 3}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$