Номер 18.20, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Упражнения - номер 18.20, страница 161.

Учебник.

18.20. В коробке лежат 24 синих и 16 красных ручек. Ученик выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с вероятностью 90%, а число, написанное красной ручкой, — с вероятностью 70%. Составьте дендрограмму этого опыта и найдите вероятность того, что написанное число будет распознано.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала определим основные вероятности, исходя из условия.

В коробке находится $24$ синих и $16$ красных ручек. Общее количество ручек: $N = 24 + 16 = 40$.

Введем события:

• $A_С$ — событие, состоящее в том, что ученик выбрал синюю ручку.
• $A_К$ — событие, состоящее в том, что ученик выбрал красную ручку.
• $B$ — событие, состоящее в том, что написанное число распознано сканером.

Вероятность выбрать синюю ручку:

$P(A_С) = \frac{\text{количество синих ручек}}{\text{общее количество ручек}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6$

Вероятность выбрать красную ручку:

$P(A_К) = \frac{\text{количество красных ручек}}{\text{общее количество ручек}} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0.4$

Также из условия известны условные вероятности распознавания числа:

• $P(B|A_С) = 90\% = 0.9$ (вероятность распознать число, если оно написано синей ручкой).
• $P(B|A_К) = 70\% = 0.7$ (вероятность распознать число, если оно написано красной ручкой).

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) иллюстрирует последовательность событий и их вероятности. Первый уровень дерева представляет выбор ручки, а второй — результат сканирования.

• Начало опыта
  • → Выбрана синяя ручка (Вероятность $0.6$)
    • → Число распознано (Условная вероятность $0.9$)
    • → Число не распознано (Условная вероятность $1 - 0.9 = 0.1$)
  • → Выбрана красная ручка (Вероятность $0.4$)
    • → Число распознано (Условная вероятность $0.7$)
    • → Число не распознано (Условная вероятность $1 - 0.7 = 0.3$)

Ответ: дендрограмма опыта представлена на схеме выше.

найдите вероятность того, что написанное число будет распознано

Чтобы найти общую вероятность события $B$ (число распознано), необходимо использовать формулу полной вероятности. Событие $B$ может наступить в двух несовместных случаях: была выбрана синяя ручка и число распознано, ИЛИ была выбрана красная ручка и число распознано.

Формула полной вероятности для данного случая:

$P(B) = P(A_С) \cdot P(B|A_С) + P(A_К) \cdot P(B|A_К)$

Подставим вычисленные ранее вероятности в эту формулу:

$P(B) = (0.6 \cdot 0.9) + (0.4 \cdot 0.7)$

Выполним вычисления:

$P(B) = 0.54 + 0.28$

$P(B) = 0.82$

Таким образом, полная вероятность того, что написанное число будет распознано, составляет $0.82$, или $82\%$.

Ответ: $0.82$.