Номер 18.21, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.21, страница 161.

18.21. На соревнованиях по метанию копья последнему спортсмену осталось выполнить последнюю попытку. Если во время броска ветер будет попутный, то спортсмен сможет победить с вероятностью 0,42, если же ветер будет встречный – то с вероятностью 0,35. Составьте дендрограмму этого опыта и найдите вероятность победы спортсмена, если вероятность того, что во время броска ветер будет попутным, равна 0,6.

Для решения задачи определим ключевые события и их вероятности, данные в условии.

Пусть событие $A$ — «ветер попутный», а событие $\bar{A}$ — «ветер встречный». Событие $W$ — «спортсмен победит».

Из условия задачи нам известны:

• Вероятность попутного ветра: $P(A) = 0,6$.
• Условная вероятность победы при попутном ветре: $P(W|A) = 0,42$.
• Условная вероятность победы при встречном ветре: $P(W|\bar{A}) = 0,35$.

Поскольку ветер может быть либо попутным, либо встречным, эти два события являются противоположными. Вероятность встречного ветра составляет:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) для этого опыта будет состоять из двух уровней ветвления.

1. Первый уровень представляет тип ветра. От начальной точки отходят две основные ветви:
   • «Попутный ветер» с вероятностью $P(A) = 0,6$.
   • «Встречный ветер» с вероятностью $P(\bar{A}) = 0,4$.
2. Второй уровень представляет исход попытки (победа или не победа) для каждого типа ветра.
   • От ветви «Попутный ветер» отходят еще две ветви: «Победа» с условной вероятностью $P(W|A) = 0,42$ и «Не победа» с условной вероятностью $1 - 0,42 = 0,58$.
   • От ветви «Встречный ветер» также отходят две ветви: «Победа» с условной вероятностью $P(W|\bar{A}) = 0,35$ и «Не победа» с условной вероятностью $1 - 0,35 = 0,65$.

Вероятность каждого из четырех возможных исходов (путей на дереве) равна произведению вероятностей на ветвях, составляющих этот путь:

• Попутный ветер и победа: $0,6 \times 0,42 = 0,252$.
• Попутный ветер и не победа: $0,6 \times 0,58 = 0,348$.
• Встречный ветер и победа: $0,4 \times 0,35 = 0,140$.
• Встречный ветер и не победа: $0,4 \times 0,65 = 0,260$.

Найдите вероятность победы спортсмена

Вероятность победы спортсмена ($P(W)$) находится по формуле полной вероятности. Победа может наступить при одном из двух несовместных исходов: победа при попутном ветре или победа при встречном ветре. Полная вероятность победы равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность события «попутный ветер и победа»:

$P(A \cap W) = P(A) \cdot P(W|A) = 0,6 \cdot 0,42 = 0,252$.

Вероятность события «встречный ветер и победа»:

$P(\bar{A} \cap W) = P(\bar{A}) \cdot P(W|\bar{A}) = 0,4 \cdot 0,35 = 0,140$.

Суммируем вероятности этих двух несовместных событий, чтобы получить общую вероятность победы:

$P(W) = P(A \cap W) + P(\bar{A} \cap W) = 0,252 + 0,140 = 0,392$.

Ответ: 0,392.