Номер 6.4.4, страница 131 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

6.4.4. Натрий освещается монохроматическим излучением с длиной волны $\lambda = 40 \text{ нм}$. Определите красную границу фотоэффекта для натрия, если напряжение, при котором прекратится фототок, $U_3 = 28,9 \text{ В}$. (Ответ: $\approx 570 \text{ нм.}$)

Дано:

Длина волны монохроматического излучения $ \lambda = 40 $ нм

Запирающее напряжение $ U_з = 28,9 $ В

Постоянная Планка $ h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} $ Дж·с

Скорость света в вакууме $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с

Элементарный заряд $ e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} $ Кл

Перевод в систему СИ:

$ \lambda = 40 \text{ нм} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

Красную границу фотоэффекта $ \lambda_{красн} $.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$ E_ф = A_{вых} + E_{к, макс} $

где $ E_ф $ — энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ — работа выхода электрона из металла, а $ E_{к, макс} $ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия падающего фотона определяется его длиной волны $ \lambda $:

$ E_ф = \frac{hc}{\lambda} $

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с запирающим напряжением $ U_з $ соотношением:

$ E_{к, макс} = eU_з $

Работа выхода $ A_{вых} $ связана с красной границей фотоэффекта $ \lambda_{красн} $ (максимальной длиной волны, при которой еще возможен фотоэффект) следующим образом:

$ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{красн}} $

Подставим все выражения в исходное уравнение Эйнштейна:

$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{красн}} + eU_з $

Выразим из этого уравнения член, содержащий искомую величину $ \lambda_{красн} $:

$ \frac{hc}{\lambda_{красн}} = \frac{hc}{\lambda} - eU_з $

Теперь выразим саму красную границу фотоэффекта:

$ \lambda_{красн} = \frac{hc}{\frac{hc}{\lambda} - eU_з} $

Проведем вычисления. Сначала вычислим энергию падающих фотонов:

$ E_ф = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{40 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{40 \cdot 10^{-9}} \text{ Дж} \approx 4.9725 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} $

Теперь вычислим максимальную кинетическую энергию электронов:

$ E_{к, макс} = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 28.9 \text{ В} = 4.624 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} $

Найдем работу выхода, вычитая из энергии фотона кинетическую энергию электрона:

$ A_{вых} = 4.9725 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 4.624 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} = 0.3485 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} $

Наконец, определим красную границу фотоэффекта, зная работу выхода:

$ \lambda_{красн} = \frac{hc}{A_{вых}} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{0.3485 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}} $

$ \lambda_{красн} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{0.3485 \cdot 10^{-18}} \text{ м} \approx 5.707 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Переведем результат в нанометры (1 нм = $ 10^{-9} $ м):

$ \lambda_{красн} \approx 5.707 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 570.7 \text{ нм} $

Округляя, получаем значение, близкое к указанному в задачнике.

Ответ: $ \lambda_{красн} \approx 571 $ нм.