Номер 3, страница 17 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 5. Зависимость удельного сопротивления проводников и полупроводников от температуры. Глава 1. Постоянный электрический ток - номер 3, страница 17.

3. Сопротивление стального проводника при температуре $t_1 = 10 \text{ °C}$ $R_1 = 10 \text{ Ом}$. Найдите, при какой температуре его сопротивление увеличится на 1%. Температурный коэффициент сопротивления стали $6 \cdot 10^{-3} \text{ K}^{-1}$.

Дано:

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$R_1 = 10 \text{ Ом}$

$\alpha = 6 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Относительное увеличение сопротивления $\frac{\Delta R}{R_1} = 1\% = 0.01$

Найти:

$t_2$

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры в общем виде описывается формулой:

$R_2 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

где $R_1$ — сопротивление при начальной температуре $t_1$, $R_2$ — сопротивление при конечной температуре $t_2$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления.

По условию задачи сопротивление увеличилось на 1%. Это означает, что новое сопротивление $R_2$ составляет 101% от начального сопротивления $R_1$:

$R_2 = R_1 + 0.01 \cdot R_1 = 1.01 \cdot R_1$

Подставим это выражение в формулу зависимости сопротивления от температуры:

$1.01 \cdot R_1 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Сократим $R_1$ в обеих частях уравнения (поскольку $R_1 \neq 0$):

$1.01 = 1 + \alpha(t_2 - t_1)$

Теперь выразим из этого уравнения разность температур $(t_2 - t_1)$:

$1.01 - 1 = \alpha(t_2 - t_1)$

$0.01 = \alpha(t_2 - t_1)$

$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{0.01}{\alpha}$

Отсюда можно найти конечную температуру $t_2$:

$t_2 = t_1 + \frac{0.01}{\alpha}$

Подставим числовые значения. Важно отметить, что изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению температуры на 1 Кельвин, поэтому значение температурного коэффициента сопротивления $\alpha$ будет одинаковым как в $\text{К}^{-1}$, так и в $\text{°C}^{-1}$.

$t_2 = 10 \text{ °C} + \frac{0.01}{6 \cdot 10^{-3} \text{ °C}^{-1}}$

$t_2 = 10 \text{ °C} + \frac{10^{-2}}{6 \cdot 10^{-3}} \text{ °C} = 10 \text{ °C} + \frac{10}{6} \text{ °C}$

$t_2 = 10 \text{ °C} + 1.666... \text{ °C} \approx 11.67 \text{ °C}$

Ответ: сопротивление проводника увеличится на 1% при температуре приблизительно $11.67 \text{ °C}$.