Страница 17 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

3. Почему удельное сопротивление полупроводников уменьшается при увеличении температуры?

Решение

Удельное электрическое сопротивление вещества ($ \rho $) зависит от концентрации свободных носителей заряда ($ n $), элементарного заряда ($ e $) и подвижности носителей заряда ($ \mu $). Эта зависимость выражается формулой:

$ \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu} $

где $ \sigma $ — удельная проводимость.

В отличие от металлов, у которых концентрация свободных электронов велика и практически не зависит от температуры, у полупроводников механизм проводимости иной и сильно зависит от температуры.

1. Механизм генерации носителей заряда. В полупроводниках при температуре, близкой к абсолютному нулю ($ 0 \text{ K} $), все электроны находятся в валентной зоне и прочно связаны с атомами кристаллической решетки. Зона проводимости пуста, свободных носителей заряда нет, и полупроводник является диэлектриком. Валентную зону и зону проводимости разделяет запрещенная зона шириной $ E_g $.

2. Влияние температуры. При увеличении температуры атомы в кристаллической решетке начинают колебаться интенсивнее. Электроны в валентной зоне получают дополнительную тепловую энергию. Если эта энергия становится достаточной для преодоления запрещенной зоны ($ E_g $), электрон "перепрыгивает" в зону проводимости, становясь свободным. На его месте в валентной зоне образуется "дырка" — вакантное место с эффективным положительным зарядом, которая также может перемещаться и участвовать в создании тока.

Таким образом, с ростом температуры происходит генерация электронно-дырочных пар, и концентрация носителей заряда ($ n $) резко возрастает. Этот рост описывается экспоненциальным законом, близким к:

$ n \propto \exp(-\frac{E_g}{2kT}) $

где $ k $ — постоянная Больцмана, а $ T $ — абсолютная температура. Экспоненциальная зависимость означает, что даже небольшое повышение температуры может привести к увеличению числа свободных носителей заряда в несколько раз.

3. Конкурирующий процесс. Одновременно с ростом концентрации носителей, увеличение температуры приводит к более частым столкновениям этих носителей (электронов и дырок) с колеблющимися ионами кристаллической решетки. Это затрудняет их упорядоченное движение в электрическом поле, то есть их подвижность ($ \mu $) уменьшается.

4. Итог. В полупроводниках наблюдаются два противоположных эффекта: экспоненциальный рост концентрации носителей ($ n $) и уменьшение их подвижности ($ \mu $). Однако эффект роста концентрации носителей заряда является доминирующим. Увеличение $ n $ происходит гораздо быстрее, чем уменьшение $ \mu $. Согласно формуле $ \rho = \frac{1}{n \cdot e \cdot \mu} $, резкий рост знаменателя ($ n $) приводит к значительному уменьшению значения всей дроби, то есть к уменьшению удельного сопротивления $ \rho $.

Ответ:

Удельное сопротивление полупроводников уменьшается при увеличении температуры потому, что с ростом температуры резко (по экспоненциальному закону) возрастает концентрация свободных носителей заряда (электронов и дырок) за счет тепловой энергии, которая позволяет электронам переходить из валентной зоны в зону проводимости. Этот эффект значительно превосходит одновременное снижение подвижности носителей заряда из-за их более частых столкновений с колеблющимися атомами кристаллической решетки.

4. Опишите процесс собственной проводимости в полупроводниках.

Собственная проводимость — это электропроводность химически чистого полупроводника, не содержащего примесей. Она обусловлена появлением свободных носителей заряда (электронов и дырок) в результате тепловой генерации.

При температуре абсолютного нуля ($T = 0$ К) в идеальном кристалле полупроводника все электроны находятся в валентной зоне, участвуя в образовании ковалентных связей между атомами. Валентная зона полностью заполнена, а следующая за ней по энергии зона проводимости — пуста. Между валентной зоной и зоной проводимости находится запрещенная зона — область энергий, которые электроны в кристалле иметь не могут. В таком состоянии полупроводник не проводит электрический ток и является диэлектриком.

С повышением температуры ($T > 0$ К) атомы кристаллической решетки начинают совершать тепловые колебания. Некоторые валентные электроны могут получить энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны и перехода из валентной зоны в зону проводимости. Этот процесс называется генерацией электронно-дырочной пары. В результате в зоне проводимости появляется свободный электрон (или электрон проводимости), а в валентной зоне на его месте образуется вакансия — дырка. Разрыв ковалентной связи приводит к одновременному рождению двух носителей заряда.

Таким образом, в собственном полупроводнике появляются два типа подвижных носителей заряда:

• Электроны проводимости: это свободные электроны в зоне проводимости, имеющие отрицательный заряд.
• Дырки: это вакантные места в валентной зоне. Дырка ведет себя как квазичастица с положительным зарядом. Её движение представляет собой последовательные перескоки электронов из соседних ковалентных связей на вакантное место, что эквивалентно перемещению положительного заряда в противоположном направлении.

Поскольку электроны и дырки рождаются парами, их концентрации в собственном полупроводнике равны. Обозначая концентрацию электронов как $n_i$, а концентрацию дырок как $p_i$, имеем: $n_i = p_i$.

При приложении к полупроводнику внешнего электрического поля оба типа носителей приходят в упорядоченное движение, создавая электрический ток. Свободные электроны движутся против направления поля, создавая электронную составляющую тока. Дырки движутся по направлению поля, создавая дырочную составляющую тока. Общий ток в полупроводнике равен сумме электронного и дырочного токов.

Параллельно с процессом генерации в полупроводнике происходит и обратный процесс — рекомбинация. Это процесс, при котором свободный электрон "встречается" с дыркой и заполняет её, восстанавливая ковалентную связь. При этом пара носителей заряда исчезает, а избыток энергии выделяется в виде тепла или света. При неизменной температуре в кристалле устанавливается динамическое равновесие: скорость генерации электронно-дырочных пар становится равной скорости их рекомбинации. В результате концентрация носителей заряда поддерживается на определённом уровне, зависящем от температуры.

Собственная проводимость полупроводников очень сильно зависит от температуры. Концентрация носителей заряда, а следовательно, и проводимость, растет с температурой по экспоненциальному закону. Это является ключевым отличием полупроводников от металлов, у которых проводимость с ростом температуры падает из-за усиления рассеяния электронов на колебаниях решетки.

Ответ:

Собственная проводимость полупроводников — это их электропроводность в химически чистом состоянии, вызванная тепловой генерацией пар носителей заряда: свободных электронов и дырок. При температуре выше абсолютного нуля тепловая энергия разрывает некоторые ковалентные связи, в результате чего электроны переходят из валентной зоны в зону проводимости, а на их месте в валентной зоне остаются положительно заряженные "вакансии" — дырки. Под действием внешнего электрического поля эти два типа носителей движутся упорядоченно (электроны — против поля, дырки — по полю), создавая электрический ток. Величина собственной проводимости сильно зависит от температуры и экспоненциально возрастает при её увеличении.

5. Какое физическое явление называют сверхпроводимостью?

Сверхпроводимость — это квантовое физическое явление, которое наблюдается у некоторых материалов (называемых сверхпроводниками) при их охлаждении ниже определённой критической температуры ($T_c$). Оно характеризуется двумя фундаментальными свойствами: полным отсутствием электрического сопротивления и выталкиванием магнитного поля из объёма материала (эффект Мейснера).

Явление было открыто в 1911 году голландским физиком Хейке Камерлинг-Оннесом при изучении свойств ртути, охлаждённой с помощью жидкого гелия. Он обнаружил, что при температуре около 4.2 К ($ -269°C $) электрическое сопротивление ртути скачкообразно падало до нуля.

Ключевыми свойствами сверхпроводимости являются:

• Нулевое электрическое сопротивление. В сверхпроводящем состоянии электрический ток может протекать по проводнику бесконечно долго без потерь энергии. Сопротивление материала становится равным нулю: $R=0$. Это позволяет создавать незатухающие токи в замкнутых сверхпроводящих контурах.

• Эффект Мейснера. Это свойство отличает сверхпроводник от идеального проводника. При переходе в сверхпроводящее состояние материал активно выталкивает из своего объёма силовые линии внешнего магнитного поля. Внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю, что делает его идеальным диамагнетиком.

• Наличие критических параметров. Сверхпроводящее состояние разрушается, если температура $T$ превышает критическую $T_c$, внешнее магнитное поле $H$ превышает критическое $H_c$, или плотность тока $J$ превышает критическую $J_c$.

Теоретическое объяснение для традиционных сверхпроводников даёт теория Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). Согласно ей, при низких температурах электроны объединяются в куперовские пары за счёт взаимодействия с колебаниями кристаллической решётки. Эти пары движутся через кристалл как единое целое без рассеяния, что и обеспечивает нулевое сопротивление.

Благодаря своим уникальным свойствам сверхпроводимость находит применение в создании мощных электромагнитов для МРТ и ускорителей частиц, в разработке поездов на магнитной левитации (маглев) и в перспективных технологиях передачи энергии без потерь.

Ответ:

Сверхпроводимость — это физическое явление, заключающееся в свойстве некоторых материалов обладать строго нулевым электрическим сопротивлением при достижении ими температуры ниже определённого значения (критической температуры), а также выталкивать из своего объёма магнитное поле.

З А Д А Ч И

1. Сопротивление медного провода при 0 °С равно 4 Ом. Найдите его сопротивление при 50 °С, если температурный коэффициент сопротивления меди $ \alpha = 4,3 \cdot 10^{-3} \text{ K}^{-1} $.

Дано:

$R_0 = 4$ Ом

$t_0 = 0$ °C

$t = 50$ °C

$\alpha = 4,3 \cdot 10^{-3}$ К⁻¹

Перевод в СИ:

$R_0 = 4$ Ом

$T_0 = 0 + 273,15 = 273,15$ К

$T = 50 + 273,15 = 323,15$ К

$\alpha = 4,3 \cdot 10^{-3}$ К⁻¹

Найти:

$R$ - ?

Решение:

Для нахождения сопротивления проводника при его нагревании используется формула, описывающая линейную зависимость сопротивления от температуры:

$R = R_0 (1 + \alpha \Delta t)$

где $R$ – сопротивление при конечной температуре $t$, $R_0$ – сопротивление при начальной температуре $t_0$, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t$ – изменение температуры.

Вычислим изменение температуры:

$\Delta t = t - t_0 = 50 \text{°C} - 0 \text{°C} = 50 \text{°C}$

Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах, поэтому $\Delta t = 50$ К. Это позволяет нам использовать температурный коэффициент, данный в К⁻¹, без дополнительного перевода единиц.

Подставим имеющиеся данные в формулу:

$R = 4 \cdot (1 + 4,3 \cdot 10^{-3} \cdot 50)$

Произведем вычисления:

$R = 4 \cdot (1 + 0,0043 \cdot 50)$

$R = 4 \cdot (1 + 0,215)$

$R = 4 \cdot 1,215$

$R = 4,86$ Ом

Ответ: сопротивление медного провода при 50 °C равно 4,86 Ом.

2. Сопротивление проводника при 20 °С равно 25 Ом, а при 35 °С — 25,17 Ом. Найдите температурный коэффициент сопротивления.

Дано:

Начальная температура проводника: $t_1 = 20 \text{ °C}$

Начальное сопротивление проводника: $R_1 = 25 \text{ Ом}$

Конечная температура проводника: $t_2 = 35 \text{ °C}$

Конечное сопротивление проводника: $R_2 = 25,17 \text{ Ом}$

Все величины представлены в единицах, удобных для расчетов. Перевод в систему СИ не требуется, так как в формуле используется разность температур, которая одинакова как в шкале Цельсия, так и в шкале Кельвина.

Найти:

Температурный коэффициент сопротивления: $\alpha$.

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:

$R_2 = R_1 (1 + \alpha \Delta t)$, где $\Delta t$ — это изменение температуры, $\Delta t = t_2 - t_1$.

Чтобы найти температурный коэффициент сопротивления $\alpha$, выразим его из этой формулы:

$\frac{R_2}{R_1} = 1 + \alpha (t_2 - t_1)$

$\frac{R_2}{R_1} - 1 = \alpha (t_2 - t_1)$

$\frac{R_2 - R_1}{R_1} = \alpha (t_2 - t_1)$

$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 (t_2 - t_1)}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\alpha = \frac{25,17 \text{ Ом} - 25 \text{ Ом}}{25 \text{ Ом} \cdot (35 \text{ °C} - 20 \text{ °C})}$

$\alpha = \frac{0,17 \text{ Ом}}{25 \text{ Ом} \cdot 15 \text{ °C}}$

$\alpha = \frac{0,17}{375} \text{ °C}^{-1}$

$\alpha \approx 0,00045333... \text{ °C}^{-1}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$\alpha \approx 0,000453 \text{ °C}^{-1}$

Ответ: температурный коэффициент сопротивления равен приблизительно $0,000453 \text{ °C}^{-1}$ (или $4,53 \cdot 10^{-4} \text{ K}^{-1}$).

3. Сопротивление стального проводника при температуре $t_1 = 10 \text{ °C}$ $R_1 = 10 \text{ Ом}$. Найдите, при какой температуре его сопротивление увеличится на 1%. Температурный коэффициент сопротивления стали $6 \cdot 10^{-3} \text{ K}^{-1}$.

Дано:

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$R_1 = 10 \text{ Ом}$

$\alpha = 6 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Относительное увеличение сопротивления $\frac{\Delta R}{R_1} = 1\% = 0.01$

Найти:

$t_2$

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры в общем виде описывается формулой:

$R_2 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

где $R_1$ — сопротивление при начальной температуре $t_1$, $R_2$ — сопротивление при конечной температуре $t_2$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления.

По условию задачи сопротивление увеличилось на 1%. Это означает, что новое сопротивление $R_2$ составляет 101% от начального сопротивления $R_1$:

$R_2 = R_1 + 0.01 \cdot R_1 = 1.01 \cdot R_1$

Подставим это выражение в формулу зависимости сопротивления от температуры:

$1.01 \cdot R_1 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Сократим $R_1$ в обеих частях уравнения (поскольку $R_1 \neq 0$):

$1.01 = 1 + \alpha(t_2 - t_1)$

Теперь выразим из этого уравнения разность температур $(t_2 - t_1)$:

$1.01 - 1 = \alpha(t_2 - t_1)$

$0.01 = \alpha(t_2 - t_1)$

$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{0.01}{\alpha}$

Отсюда можно найти конечную температуру $t_2$:

$t_2 = t_1 + \frac{0.01}{\alpha}$

Подставим числовые значения. Важно отметить, что изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению температуры на 1 Кельвин, поэтому значение температурного коэффициента сопротивления $\alpha$ будет одинаковым как в $\text{К}^{-1}$, так и в $\text{°C}^{-1}$.

$t_2 = 10 \text{ °C} + \frac{0.01}{6 \cdot 10^{-3} \text{ °C}^{-1}}$

$t_2 = 10 \text{ °C} + \frac{10^{-2}}{6 \cdot 10^{-3}} \text{ °C} = 10 \text{ °C} + \frac{10}{6} \text{ °C}$

$t_2 = 10 \text{ °C} + 1.666... \text{ °C} \approx 11.67 \text{ °C}$

Ответ: сопротивление проводника увеличится на 1% при температуре приблизительно $11.67 \text{ °C}$.