Страница 13 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Сформулируйте закон Ома для однородного проводника.

Закон Ома для однородного проводника (также известный как закон Ома для участка цепи) устанавливает фундаментальную связь между тремя основными электрическими величинами: силой тока, напряжением и сопротивлением.

Словесная формулировка закона: сила тока в однородном проводнике прямо пропорциональна напряжению, приложенному к его концам, и обратно пропорциональна его электрическому сопротивлению.

Математически этот закон выражается следующей формулой:

$I = \frac{U}{R}$

В данной формуле:

$I$ – сила тока, которая измеряется в Амперах (А). Сила тока показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за единицу времени.

$U$ – напряжение или разность потенциалов на концах проводника, измеряемое в Вольтах (В). Напряжение характеризует работу электрического поля по перемещению единичного заряда на данном участке.

$R$ – электрическое сопротивление проводника, измеряемое в Омах (Ом). Сопротивление является мерой противодействия проводника прохождению электрического тока.

Важно отметить, что сопротивление $R$ для однородного проводника является постоянной величиной при неизменных внешних условиях (прежде всего, постоянной температуре). Оно зависит от геометрических размеров проводника (длины $l$ и площади поперечного сечения $S$) и материала, из которого он изготовлен (удельного электрического сопротивления $\rho$):

$R = \rho \cdot \frac{l}{S}$

Таким образом, из закона Ома также следуют две другие формулы: для нахождения напряжения ($U = I \cdot R$) и для нахождения сопротивления ($R = \frac{U}{I}$).

Ответ: Сила тока в однородном проводнике прямо пропорциональна приложенному к его концам напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению этого проводника. Математическая формула: $I = \frac{U}{R}$.

2. Опишите механическую аналогию движения заряженных частиц в проводнике и гидродинамическую аналогию сопротивления.

Механическая аналогия движения заряженных частиц в проводнике

Движение свободных заряженных частиц (электронов) в металлическом проводнике под действием электрического поля можно уподобить движению множества маленьких шариков по наклонной плоскости, усеянной препятствиями (например, доска Гальтона).

• Свободные электроны в этой аналогии — это шарики.
• Электрическое поле, создающее направленную силу, действующую на электроны, — это сила тяжести, которая заставляет шарики скатываться вниз по наклонной плоскости. Разность потенциалов (напряжение) на концах проводника аналогична разности высот наклонной плоскости.
• Ионы кристаллической решетки металла, с которыми сталкиваются электроны, — это препятствия (гвоздики) на пути шариков.
• Движение электронов представляет собой сочетание хаотического теплового движения и упорядоченного дрейфа. В нашей аналогии, шарики, скатываясь, постоянно сталкиваются с гвоздиками, меняя направление и скорость. Однако в среднем они смещаются вниз. Это среднее смещение и есть аналог дрейфовой скорости электронов, которая определяет электрический ток.
• При столкновениях электроны передают часть своей энергии ионам решетки, что приводит к нагреву проводника (закон Джоуля-Ленца). Аналогично, шарики при ударах о гвоздики теряют кинетическую энергию, которая может переходить, например, в тепло или звук.

Таким образом, эта механическая модель наглядно демонстрирует, почему, несмотря на постоянное ускорение под действием поля, электроны движутся с некоторой постоянной средней скоростью (дрейфовой скоростью) и почему их движение сопровождается выделением тепла.

Ответ: Механическая аналогия движения заряженных частиц в проводнике — это движение шариков по наклонной доске с препятствиями (доска Гальтона). Шарики — это электроны, наклон доски создает аналог электрического поля (силу тяжести), а препятствия — это ионы кристаллической решетки, с которыми сталкиваются электроны, теряя энергию и создавая среднюю дрейфовую скорость.

Гидродинамическая аналогия сопротивления

Электрические цепи часто сравнивают с гидравлическими системами (системами трубопроводов с жидкостью, например, водой) для наглядного объяснения таких понятий, как ток, напряжение и сопротивление.

• Электрический ток ($I$), то есть поток зарядов, аналогичен расходу жидкости ($Q$) — объему воды, протекающему через сечение трубы в единицу времени.
• Напряжение ($U$), или разность потенциалов, которая является движущей силой для зарядов, аналогично разности давлений ($Δp$) между двумя точками в трубе. Источник напряжения (батарея) подобен насосу, который создает эту разность давлений и заставляет воду течь.
• Электрическое сопротивление ($R$) — это свойство проводника препятствовать прохождению тока. В гидродинамической аналогии это гидравлическое сопротивление, которое оказывает труба потоку жидкости.

Гидравлическое сопротивление, как и электрическое, зависит от геометрических параметров и свойств "проводника":

• Длина: Чем длиннее труба, тем больше ее сопротивление потоку воды. Аналогично, чем длиннее проводник, тем выше его электрическое сопротивление ($R \propto L$).
• Площадь поперечного сечения: Узкая труба создает большее сопротивление, чем широкая. Аналогично, тонкий проводник имеет большее сопротивление, чем толстый ($R \propto 1/A$).
• Свойства среды: Шероховатость внутренних стенок трубы, наличие изгибов, сужений или вязкость самой жидкости увеличивают гидравлическое сопротивление. Это аналог удельного сопротивления ($\rho$) материала проводника, которое зависит от его внутренней структуры.

Закон Ома для участка цепи $I = U/R$ в этой аналогии выглядит как зависимость расхода воды от разности давлений и гидравлического сопротивления: $Q \approx Δp/R_{гидр}$.

Ответ: Гидродинамическая аналогия сопротивления заключается в сравнении электрического сопротивления с гидравлическим сопротивлением трубы для потока жидкости. Проводник — это труба, электрический ток — это поток воды, напряжение — это разность давлений. Электрическое сопротивление, подобно гидравлическому, увеличивается с длиной проводника (трубы) и уменьшается с увеличением его поперечного сечения, а также зависит от свойств самого материала (аналогично шероховатости и форме трубы).

3. Во сколько раз изменится сила тока в проводнике при увеличении приложенного к нему напряжения вдвое?

Дано:

$U_2 = 2 \cdot U_1$ (напряжение увеличилось вдвое)

$R = const$ (сопротивление проводника постоянно)

Найти:

Во сколько раз изменится сила тока, то есть найти отношение $\frac{I_2}{I_1}$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом Ома для участка цепи. Закон Ома гласит, что сила тока $I$ на участке цепи прямо пропорциональна напряжению $U$ на концах этого участка и обратно пропорциональна его сопротивлению $R$. Сопротивление проводника считаем постоянным.

Математически это выражается формулой:

$I = \frac{U}{R}$

Запишем эту формулу для двух состояний проводника:

1. Начальное состояние (до изменения напряжения):

$I_1 = \frac{U_1}{R}$, где $I_1$ - начальная сила тока, $U_1$ - начальное напряжение.

2. Конечное состояние (после увеличения напряжения):

$I_2 = \frac{U_2}{R}$, где $I_2$ - конечная сила тока, $U_2$ - конечное напряжение.

По условию задачи, конечное напряжение вдвое больше начального: $U_2 = 2 \cdot U_1$.

Подставим это выражение в формулу для $I_2$:

$I_2 = \frac{2 \cdot U_1}{R}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась сила тока, найдем отношение конечной силы тока $I_2$ к начальной $I_1$:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{2 \cdot U_1}{R}}{\frac{U_1}{R}}$

При делении дробей, мы умножаем первую дробь на перевернутую вторую:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{2 \cdot U_1}{R} \cdot \frac{R}{U_1}$

Сокращаем одинаковые множители $U_1$ и $R$ в числителе и знаменателе:

$\frac{I_2}{I_1} = 2$

Таким образом, из прямо пропорциональной зависимости силы тока от напряжения (при постоянном сопротивлении) следует, что при увеличении напряжения вдвое, сила тока в проводнике также увеличится вдвое.

Ответ: сила тока увеличится в 2 раза.

4. Что такое вольт-амперная характеристика проводника?

Что такое вольт-амперная характеристика проводника?

Вольт-амперная характеристика (сокращенно ВАХ) — это зависимость силы тока $I$, протекающего через элемент электрической цепи (в данном случае, проводник), от электрического напряжения $U$ на концах этого элемента. Эта характеристика является одной из фундаментальных для любого электротехнического устройства и позволяет судить о его свойствах.

ВАХ обычно представляют в виде графика, где по оси абсцисс (горизонтальной) откладывают напряжение $U$ (в вольтах), а по оси ординат (вертикальной) — силу тока $I$ (в амперах). Вид этого графика определяет электрические свойства проводника.

Для анализа ВАХ используют закон Ома для участка цепи, который устанавливает связь между силой тока, напряжением и сопротивлением:

$I = \frac{U}{R}$

где $R$ — сопротивление проводника. Из этой формулы видно, что сопротивление в любой точке характеристики можно определить как отношение напряжения к силе тока: $R = \frac{U}{I}$.

В зависимости от вида ВАХ проводники делят на две большие группы:

1. Линейные (или омические) проводники. Это проводники, которые подчиняются закону Ома, то есть их сопротивление $R$ является постоянной величиной и не зависит от приложенного напряжения или протекающего тока. Вольт-амперная характеристика таких проводников представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Угол наклона этой прямой к оси напряжения характеризует проводимость проводника $G = \frac{1}{R}$. Чем круче идет график, тем меньше сопротивление. К таким проводникам относятся металлические проводники (например, медные, алюминиевые) и резисторы при условии, что их температура остается постоянной.

2. Нелинейные (или неомические) проводники. Это проводники, чье сопротивление $R$ изменяется в зависимости от приложенного напряжения или силы тока. Их ВАХ представляет собой кривую линию. Для них закон Ома в простой форме не выполняется. Примерами нелинейных элементов являются:

   • Лампа накаливания: при увеличении напряжения нить накала разогревается, ее сопротивление растет, и рост тока замедляется. ВАХ такой лампы — это кривая, изгибающаяся в сторону оси напряжений.

   • Полупроводниковый диод: его сопротивление сильно зависит от полярности напряжения. При прямом включении ток резко возрастает после некоторого порогового напряжения, а при обратном включении ток очень мал. Его ВАХ сильно асимметрична.

   • Термисторы, варисторы, фоторезисторы: их сопротивление зависит от температуры, напряжения, освещенности соответственно, что приводит к нелинейным ВАХ.

Таким образом, вольт-амперная характеристика является "паспортом" проводника, полностью описывающим его поведение в электрической цепи.

Ответ: Вольт-амперная характеристика (ВАХ) — это зависимость силы тока в проводнике от приложенного к нему напряжения. Она может быть представлена в виде графика и показывает, является ли сопротивление проводника постоянным (линейная ВАХ, подчиняется закону Ома) или оно изменяется в зависимости от напряжения и тока (нелинейная ВАХ).

5. Что такое удельное сопротивление проводника? При каких значениях удельного сопротивления вещество можно считать проводником, полупроводником, диэлектриком?

Что такое удельное сопротивление проводника?

Удельное электрическое сопротивление (часто называемое просто удельным сопротивлением) — это физическая величина, характеризующая внутреннее свойство вещества оказывать сопротивление прохождению электрического тока. Эта величина показывает, насколько хорошо материал проводит электрический ток.

Сопротивление $R$ однородного проводника связано с его геометрическими размерами и удельным сопротивлением материала $\rho$ следующей формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где:

• $R$ – электрическое сопротивление проводника, измеряется в Омах (Ом);
• $\rho$ (ро) – удельное электрическое сопротивление материала, измеряется в Ом-метрах (Ом·м);
• $l$ – длина проводника, измеряется в метрах (м);
• $S$ – площадь поперечного сечения проводника, измеряется в квадратных метрах (м²).

Из этой формулы можно выразить удельное сопротивление:

$\rho = R \frac{S}{l}$

Таким образом, физически удельное сопротивление — это сопротивление изготовленного из данного вещества куба с ребром 1 метр, когда ток протекает перпендикулярно двум противоположным граням. Удельное сопротивление зависит от рода вещества и его состояния, в частности, от температуры.

Ответ: Удельное сопротивление — это физическая величина, которая является характеристикой материала и показывает его способность препятствовать прохождению электрического тока. Оно определяется по формуле $\rho = R \frac{S}{l}$ и измеряется в системе СИ в Ом-метрах (Ом·м).

При каких значениях удельного сопротивления вещество можно считать проводником, полупроводником, диэлектриком?

В зависимости от значения удельного сопротивления $\rho$ все вещества условно делят на три большие группы. Стоит отметить, что границы между этими группами не являются абсолютно строгими и могут несколько варьироваться в разных источниках.

• Проводники — это вещества, которые очень хорошо проводят электрический ток. К ним относятся металлы, их сплавы, а также электролиты. Они обладают очень низким удельным сопротивлением.

  Типичные значения: $\rho < 10^{-5}$ Ом·м. Например, у серебра $\rho \approx 1.6 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, у меди $\rho \approx 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м.

• Полупроводники — это вещества, занимающие по своей электропроводности промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Их удельное сопротивление сильно зависит от температуры, освещенности и наличия примесей. К ним относятся, например, кремний (Si), германий (Ge).

  Типичные значения: от $10^{-5}$ до $10^{8}$ Ом·м. Например, у чистого кремния при комнатной температуре $\rho \approx 2.3 \cdot 10^{3}$ Ом·м.

• Диэлектрики (изоляторы) — это вещества, которые очень плохо проводят электрический ток. Они обладают очень высоким удельным сопротивлением. Примерами могут служить стекло, резина, фарфор, сухая древесина, воздух.

  Типичные значения: $\rho > 10^{8}$ Ом·м. Например, у кварцевого стекла $\rho \approx 10^{16}$ Ом·м, а у эбонита $\rho \approx 10^{14}$ Ом·м.

Ответ: Вещество можно считать проводником при удельном сопротивлении $\rho < 10^{-5}$ Ом·м, полупроводником — при $\rho$ в диапазоне от $10^{-5}$ до $10^{8}$ Ом·м, и диэлектриком — при $\rho > 10^{8}$ Ом·м.

З А Д А Ч И

1. Электрический обогреватель, имеющий сопротивление 44 Ом, включён в сеть с напряжением 220 В. Найдите силу тока, протекающего через обогреватель.

Дано:

Сопротивление $R = 44$ Ом

Напряжение $U = 220$ В

Найти:

Силу тока $I$

Решение:

Для нахождения силы тока в электрическом обогревателе воспользуемся законом Ома для участка цепи. Этот закон устанавливает, что сила тока $I$ на участке цепи прямо пропорциональна напряжению $U$ на концах этого участка и обратно пропорциональна его сопротивлению $R$.

Формула закона Ома выглядит следующим образом:

$I = \frac{U}{R}$

Подставим в формулу известные значения напряжения и сопротивления:

$I = \frac{220 \text{ В}}{44 \text{ Ом}}$

Выполним вычисление:

$I = 5 \text{ А}$

Ответ: 5 А.

2. Определите разность потенциалов на концах проводника сопротивлением 5 Ом, если за минуту через его поперечное сечение пройдёт заряд 2,88 кКл.

Дано:

Сопротивление проводника, $R = 5$ Ом

Время, $t = 1 \text{ минута}$

Заряд, $q = 2,88 \text{ кКл}$

$t = 1 \cdot 60 \text{ с} = 60$ с

$q = 2,88 \cdot 10^3 \text{ Кл} = 2880$ Кл

Найти:

Разность потенциалов, $U$

Решение:

Согласно закону Ома для участка цепи, разность потенциалов (напряжение) $U$ на концах проводника прямо пропорциональна силе тока $I$ в проводнике и его сопротивлению $R$:

$U = I \cdot R$

Сила тока $I$ определяется как отношение заряда $q$, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени $t$, за которое этот заряд прошел:

$I = \frac{q}{t}$

Чтобы найти разность потенциалов, сначала вычислим силу тока, подставив значения из условия задачи в систему СИ:

$I = \frac{2880 \text{ Кл}}{60 \text{ с}} = 48$ А

Теперь, зная силу тока и сопротивление, мы можем найти разность потенциалов, используя закон Ома:

$U = 48 \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} = 240$ В

Ответ: разность потенциалов на концах проводника составляет 240 В.

3. Сопротивление цилиндрического алюминиевого провода диаметром 1 мм равно 4 Ом. Найдите его длину.

Дано:

$R = 4$ Ом

$d = 1 \text{ мм}$

Провод - алюминиевый

Перевод в систему СИ:

$d = 1 \cdot 10^{-3}$ м

Удельное сопротивление алюминия (табличное значение): $\rho = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$ где $R$ — сопротивление, $\rho$ — удельное сопротивление материала, $L$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Так как провод цилиндрический, его поперечное сечение — это круг. Площадь круга можно найти через его диаметр $d$: $S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражение для площади $S$ в формулу сопротивления: $R = \rho \frac{L}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$

Из этой формулы выразим искомую длину провода $L$: $L = \frac{R \pi d^2}{4 \rho}$

Подставим числовые значения из условия задачи и справочных данных в полученную формулу: $L = \frac{4 \text{ Ом} \cdot \pi \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4 \cdot 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

Выполним вычисления: $L = \frac{4 \cdot \pi \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4 \cdot 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{\pi \cdot 10^{-6}}{2.8 \cdot 10^{-8}} \text{ м} = \frac{\pi}{2.8} \cdot 10^2 \text{ м}$

$L \approx \frac{3.14159}{2.8} \cdot 100 \text{ м} \approx 1.122 \cdot 100 \text{ м} \approx 112.2 \text{ м}$

Ответ: длина провода равна приблизительно 112.2 м.