Номер 3, страница 83 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 24. Самоиндукция. Глава 3. Электромагнетизм - номер 3, страница 83.

3. Как зависит индуктивность катушки от числа витков? Почему?

Индуктивность катушки зависит от числа витков квадратично, то есть прямо пропорциональна квадрату числа витков ($L \propto N^2$).

Рассмотрим, почему это так.

Решение

1. Индуктивность ($L$) по определению — это коэффициент пропорциональности между магнитным потоком ($\Phi$), пронизывающим контур (в данном случае, все витки катушки), и силой тока ($I$) в этом контуре:

$L = \frac{\Phi_{полный}}{I}$

где $\Phi_{полный}$ — это полный магнитный поток, который также называют потокосцеплением.

2. Полный магнитный поток $\Phi_{полный}$ равен произведению магнитного потока через один виток ($\Phi_1$) на общее число витков ($N$):

$\Phi_{полный} = N \cdot \Phi_1$

3. Магнитный поток через один виток $\Phi_1$ создается магнитным полем $B$, которое, в свою очередь, создается током $I$, протекающим по всем $N$ виткам катушки. Магнитная индукция $B$ внутри длинного соленоида (хорошая модель для катушки) прямо пропорциональна числу витков $N$ и силе тока $I$:

$B \propto N \cdot I$

Точная формула для поля внутри соленоида: $B = \mu_0 \mu \frac{N}{l} I$, где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu$ — магнитная проницаемость сердечника, $l$ — длина катушки.

4. Магнитный поток через один виток равен произведению магнитной индукции $B$ на площадь поперечного сечения витка $S$ (предполагая, что поле однородно и перпендикулярно плоскости витка):

$\Phi_1 = B \cdot S$

Поскольку $B \propto N$, то и поток через один виток также пропорционален числу витков: $\Phi_1 \propto N$.

5. Теперь подставим все зависимости в исходную формулу для индуктивности. Полный магнитный поток:

$\Phi_{полный} = N \cdot \Phi_1$

Так как $\Phi_1 \propto N$, получаем:

$\Phi_{полный} \propto N \cdot N = N^2$

Полный магнитный поток пропорционален квадрату числа витков.

6. Наконец, подставляем это в определение индуктивности:

$L = \frac{\Phi_{полный}}{I}$

Поскольку $\Phi_{полный}$ пропорционален $N^2$ и также пропорционален току $I$ (так как $B \propto I$), то при делении на $I$ эта зависимость сокращается, а зависимость от $N^2$ остается.

Для соленоида формула индуктивности выглядит так:

$L = \mu_0 \mu \frac{S \cdot N^2}{l}$

Эта формула наглядно показывает, что индуктивность $L$ прямо пропорциональна квадрату числа витков $N^2$. Увеличение числа витков в 2 раза приведет к увеличению индуктивности в 4 раза, а в 3 раза — к увеличению в 9 раз.

Ответ: Индуктивность катушки прямо пропорциональна квадрату числа ее витков ($L \propto N^2$). Это связано с тем, что магнитное поле, создаваемое катушкой, пропорционально числу витков ($B \propto N$), а полный магнитный поток (потокосцепление) равен потоку через один виток, умноженному на общее число витков ($\Phi_{полный} = N \cdot \Phi_1$). В результате полный поток оказывается пропорциональным $N^2$, а следовательно, и индуктивность тоже.