Номер 7, страница 119, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

7. В чем отличие потенциального вихревого полей?

Потенциальные и вихревые поля — это два основных типа векторных полей, которые различаются своими фундаментальными математическими свойствами, связанными с операциями векторного анализа — ротором и дивергенцией. Эти свойства определяют структуру силовых линий поля и характер работы, совершаемой полем.

Потенциальное поле

Потенциальным (или безвихревым, ирротационным) называется векторное поле $\vec{F}$, ротор которого тождественно равен нулю во всех точках пространства. $\text{rot} \, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = 0$

Ключевые свойства потенциального поля:

1. Существование скалярного потенциала. Такое поле всегда можно представить как градиент некоторой скалярной функции $\phi$, называемой потенциалом (в физике обычно со знаком минус): $\vec{F} = -\nabla \phi$.

2. Консервативность. Работа, совершаемая силами поля при перемещении пробного тела (заряда, массы) между двумя точками, не зависит от траектории. Эквивалентно, циркуляция вектора поля по любому замкнутому контуру $\text{L}$ равна нулю: $\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$

3. Структура силовых линий. Силовые линии потенциального поля не могут быть замкнутыми. Они всегда начинаются на "источниках" поля (положительные заряды, массы) и заканчиваются на "стоках" (отрицательные заряды), либо уходят в бесконечность.

Примерами потенциальных полей являются гравитационное поле и электростатическое поле, создаваемое неподвижными зарядами.

Вихревое поле

Вихревым называется векторное поле $\vec{F}$, ротор которого отличен от нуля хотя бы в некоторых областях пространства. $\text{rot} \, \vec{F} = \nabla \times \vec{F} \neq 0$

Наличие ненулевого ротора указывает на существование "завихрений" в поле.

Ключевые свойства вихревого поля:

1. Неконсервативность. Циркуляция вектора такого поля по замкнутому контуру, охватывающему область с ненулевым ротором, не равна нулю: $\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{l} \neq 0$

Это означает, что работа сил поля при перемещении по замкнутому контуру не равна нулю. Такие силы называют неконсервативными или диссипативными.

2. Структура силовых линий. Часто вихревые поля также являются соленоидальными, то есть их дивергенция равна нулю ($\text{div} \, \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = 0$). Это означает, что у поля нет источников и стоков. В этом случае силовые линии являются замкнутыми или уходят на бесконечность, нигде не начинаясь и не заканчиваясь.

3. Векторный потенциал. Соленоидальное поле ($\nabla \cdot \vec{F} = 0$) можно представить как ротор некоторого другого вектора $\vec{A}$, называемого векторным потенциалом: $\vec{F} = \nabla \times \vec{A}$.

Классическим примером вихревого соленоидального поля является магнитное поле $\vec{B}$ (его ротор пропорционален плотности тока, $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}$, а дивергенция всегда равна нулю, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$). Другой пример — поле скоростей вращающейся несжимаемой жидкости.

Ответ:

Основное отличие заключается в значении ротора (вихря) поля. У потенциального поля ротор тождественно равен нулю ($\nabla \times \vec{F} = 0$), что делает его консервативным (работа по замкнутому пути равна нулю), а его силовые линии — незамкнутыми. У вихревого поля ротор отличен от нуля ($\nabla \times \vec{F} \neq 0$), что делает его неконсервативным (работа по замкнутому пути может быть ненулевой), а его силовые линии могут образовывать замкнутые петли (вихри), как, например, у магнитного поля.