Номер 10, страница 119, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

10. Почему взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля в одной системе отсчета могут быть взаимно перпендикулярный в другой?

10. Этот эффект является следствием преобразований Лоренца для компонент векторов напряженности электрического поля ($\vec{E}$) и магнитной индукции ($\vec{B}$) при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Вопрос сводится к тому, сохраняется ли условие перпендикулярности полей ($\vec{E} \perp \vec{B}$) при смене ИСО. Как будет показано ниже, это условие сохраняется, потому что скалярное произведение $\vec{E} \cdot \vec{B}$ является релятивистским инвариантом, то есть его значение одинаково во всех ИСО.

Дано:

Инерциальная система отсчета S, в которой заданы электрическое поле $\vec{E}$ и магнитное поле $\vec{B}$.

В системе S поля взаимно перпендикулярны, что математически выражается как равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$.

Инерциальная система отсчета S', движущаяся относительно S с постоянной скоростью $\vec{v}$. Для упрощения выкладок направим ось $\text{x}$ системы S вдоль вектора скорости $\vec{v}$.

Найти:

Доказать, что в системе отсчета S' поля $\vec{E}'$ и $\vec{B}'$ также будут взаимно перпендикулярны, т.е. $\vec{E}' \cdot \vec{B}' = 0$.

Решение:

Для нахождения полей в системе S' воспользуемся формулами преобразований Лоренца для компонент векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$. Если скорость $\vec{v}$ направлена вдоль оси $\text{x}$, то компоненты полей преобразуются следующим образом:

$E'_x = E_x$

$E'_y = \gamma(E_y - vB_z)$

$E'_z = \gamma(E_z + vB_y)$

$B'_x = B_x$

$B'_y = \gamma(B_y + \frac{v}{c^2}E_z)$

$B'_z = \gamma(B_z - \frac{v}{c^2}E_y)$

Здесь $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца, а $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{E}' \cdot \vec{B}'$ в системе S', используя эти преобразования:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E'_x B'_x + E'_y B'_y + E'_z B'_z$

Подставим выражения для преобразованных компонент:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + \gamma(E_y - vB_z)\gamma(B_y + \frac{v}{c^2}E_z) + \gamma(E_z + vB_y)\gamma(B_z - \frac{v}{c^2}E_y)$

Вынесем общий множитель $\gamma^2$ и раскроем скобки:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + \gamma^2 [ (E_y B_y + \frac{v}{c^2}E_y E_z - vB_z B_y - \frac{v^2}{c^2}B_z E_z) + (E_z B_z - \frac{v}{c^2}E_z E_y + vB_y B_z - \frac{v^2}{c^2}B_y E_y) ]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках. Заметим, что некоторые пары слагаемых взаимно уничтожаются:

$(\frac{v}{c^2}E_y E_z - \frac{v}{c^2}E_z E_y) = 0$

$(-vB_z B_y + vB_y B_z) = 0$

После сокращения выражение упрощается:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + \gamma^2 [ E_y B_y - \frac{v^2}{c^2}B_z E_z + E_z B_z - \frac{v^2}{c^2}B_y E_y ]$

Перегруппируем оставшиеся слагаемые:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + \gamma^2 [ (E_y B_y + E_z B_z) - \frac{v^2}{c^2}(E_y B_y + E_z B_z) ]$

Вынесем общий множитель $(E_y B_y + E_z B_z)$:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + \gamma^2 (1 - \frac{v^2}{c^2})(E_y B_y + E_z B_z)$

Используя определение фактора Лоренца $\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2}$, получаем, что $\gamma^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = 1$.

Следовательно, выражение принимает вид:

$\vec{E}' \cdot \vec{B}' = E_x B_x + E_y B_y + E_z B_z = \vec{E} \cdot \vec{B}$

Таким образом, мы строго доказали, что величина скалярного произведения $\vec{E} \cdot \vec{B}$ является инвариантной относительно преобразований Лоренца: $\vec{E}' \cdot \vec{B}' = \vec{E} \cdot \vec{B}$.

Поскольку по условию задачи в системе S поля были перпендикулярны, т.е. $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$, то из доказанного инвариантного соотношения следует, что и в системе S' скалярное произведение также будет равно нулю: $\vec{E}' \cdot \vec{B}' = 0$. Это означает, что поля $\vec{E}'$ и $\vec{B}'$ также взаимно перпендикулярны.

Ответ: Взаимно перпендикулярные в одной системе отсчета электрическое и магнитное поля остаются взаимно перпендикулярными и в любой другой инерциальной системе отсчета. Это происходит потому, что величина их скалярного произведения ($\vec{E} \cdot \vec{B}$) является релятивистским инвариантом — она не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Следовательно, если в одной системе $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$, то это равенство будет справедливо и во всех остальных инерциальных системах отсчета.