Номер 3, страница 122, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Возникает ли электромагнитная волна, если скорость изменений напряженности электрического поля стабильна в определенной области пространства?

3. Нет, в таких условиях электромагнитная волна не возникнет.

Для возникновения и распространения электромагнитной волны необходимо, чтобы электрическое и магнитное поля изменялись во времени периодически (колебались) или, по крайней мере, с ускорением. Это фундаментальное условие, вытекающее из уравнений Максвелла. Электромагнитные волны излучаются ускоренно движущимися зарядами.

Рассмотрим заданное условие: "скорость изменений напряженности электрического поля стабильна". На языке математики это означает, что производная от вектора напряженности электрического поля $ \vec{E} $ по времени $ t $ является постоянным вектором:

$ \frac{d\vec{E}}{dt} = \vec{C} $, где $ \vec{C} $ — постоянный вектор.

Интегрируя это выражение, мы видим, что электрическое поле изменяется по линейному закону:

$ \vec{E}(t) = \vec{E}_0 + \vec{C}t $

Согласно одному из уравнений Максвелла (закону Ампера-Максвелла), изменяющееся электрическое поле создает магнитное поле:

$ \text{rot} \, \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} $

Подставив наше условие, получаем:

$ \text{rot} \, \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \vec{C} = \text{const} $

Это уравнение показывает, что вихрь (ротор) магнитного поля постоянен. Такое условие порождает магнитное поле, которое либо статично (не меняется со временем), но неоднородно в пространстве, либо само меняется линейно во времени. Однако для существования самоподдерживающейся волны необходимо, чтобы это магнитное поле, в свою очередь, порождало исходное переменное электрическое поле в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея:

$ \text{rot} \, \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} $

Если создаваемое магнитное поле статично, то $ \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = 0 $, и оно не может породить переменное электрическое поле, что разрывает цепь взаимного порождения полей. Если же магнитное поле меняется линейно ($ \vec{B}(t) \sim t $), то его производная $ \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} $ будет постоянной. Это породит электрическое поле с постоянным ротором, что согласуется с линейным изменением $ \vec{E}(t) $.

Однако такой процесс линейного нарастания полей в пространстве не является волной. Волна — это процесс распространения колебаний, переносящий энергию. Для этого требуется, чтобы вторые производные полей по времени были отличны от нуля ($ \frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} \neq 0 $), что как раз и описывает колебания или ускоренные изменения. В нашем же случае $ \frac{d^2\vec{E}}{dt^2} = \frac{d}{dt}(\vec{C}) = 0 $.

Поэтому постоянная скорость изменения электрического поля создаст лишь линейно нарастающее (или статичное) магнитное поле, но не самораспространяющуюся электромагнитную волну.

Ответ: Нет, электромагнитная волна не возникает, так как для ее генерации требуются ускоренные (например, колебательные) изменения электрического и магнитного полей, а не изменения с постоянной скоростью.