Номер 4, страница 180, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Расстояние между экраном и дифракционной решеткой, имеющей 125 штрихов на 1 мм, равно 2,5 м. При освещении решетки светом с длиной волны 420 нм на экране видны синие линии. Определите расстояние от центральной линии до первой линии на экране.

Ответ: 13 см.

Дано:

$L = 2,5 \text{ м}$

$N = 125 \text{ штрихов/мм}$

$\lambda = 420 \text{ нм}$

$k = 1$ (для первой линии)

Перевод в систему СИ:

$N = 125 \frac{1}{\text{мм}} = 125 \cdot 10^3 \frac{1}{\text{м}} = 1,25 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}$

$\lambda = 420 \text{ нм} = 420 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4,2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

$\text{x}$ - расстояние от центральной линии до первой линии на экране.

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки определяется формулой:

$d \cdot \sin\varphi = k \cdot \lambda$

где $\text{d}$ - период решетки, $\varphi$ - угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ - порядок максимума, $\lambda$ - длина волны света.

Период решетки $\text{d}$ - это величина, обратная числу штрихов на единицу длины $\text{N}$:

$d = \frac{1}{N}$

Подставим значение $\text{N}$ из условия:

$d = \frac{1}{1,25 \cdot 10^5 \text{ м}^{-1}} = 0,8 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Теперь найдем синус угла для первого дифракционного максимума ($k=1$):

$\sin\varphi = \frac{k \cdot \lambda}{d} = \frac{1 \cdot 4,2 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{8 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{4,2}{80} = 0,0525$

Расстояние $\text{x}$ от центрального максимума до максимума первого порядка на экране связано с расстоянием до экрана $\text{L}$ и углом $\varphi$ соотношением:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Отсюда $x = L \cdot \tan\varphi$.

Поскольку значение $\sin\varphi = 0,0525$ мало, угол $\varphi$ также мал. В этом случае можно использовать приближение $\tan\varphi \approx \sin\varphi$.

Тогда:

$x \approx L \cdot \sin\varphi$

Подставим числовые значения:

$x \approx 2,5 \text{ м} \cdot 0,0525 = 0,13125 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$x = 0,13125 \text{ м} = 13,125 \text{ см}$

Округляя до целого числа, как в ответе к задаче, получаем 13 см.

Ответ: $x \approx 13 \text{ см}$.