Номер 1, страница 180, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. При освещении дифракционной решетки светом с длиной волны 590 нм спектр третьего порядка виден под углом $10^\circ$. Определите длину волны, для которой спектр второго порядка будет виден под углом $6^\circ$.

Ответ: 533 нм.

1. Дано:

$\lambda_1 = 590 \text{ нм}$

$k_1 = 3$

$\varphi_1 = 10^\circ$

$k_2 = 2$

$\varphi_2 = 6^\circ$

$\lambda_1 = 590 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$\lambda_2$

Решение:

Условие для главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой, определяется формулой:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $\text{d}$ – период дифракционной решетки (расстояние между соседними щелями), $\varphi$ – угол, под которым наблюдается максимум, $\text{k}$ – порядок максимума (целое число), $\lambda$ – длина волны света.

Период решетки $\text{d}$ является её постоянной характеристикой.

Запишем это уравнение для двух ситуаций, описанных в условии задачи.

1. Для света с длиной волны $\lambda_1$ наблюдается спектр $k_1$-го порядка под углом $\varphi_1$:

$d \sin\varphi_1 = k_1\lambda_1$

2. Для света с искомой длиной волны $\lambda_2$ наблюдается спектр $k_2$-го порядка под углом $\varphi_2$:

$d \sin\varphi_2 = k_2\lambda_2$

Мы получили систему из двух уравнений. Из первого уравнения можно выразить период решетки $\text{d}$:

$d = \frac{k_1\lambda_1}{\sin\varphi_1}$

Теперь подставим это выражение для $\text{d}$ во второе уравнение:

$\frac{k_1\lambda_1}{\sin\varphi_1} \sin\varphi_2 = k_2\lambda_2$

Осталось выразить из этого соотношения искомую длину волны $\lambda_2$:

$\lambda_2 = \lambda_1 \frac{k_1 \sin\varphi_2}{k_2 \sin\varphi_1}$

Подставим числовые значения. Так как мы ищем длину волны, удобно оставить $\lambda_1$ в нанометрах (нм), тогда и результат для $\lambda_2$ будет получен в нанометрах.

$\lambda_2 = 590 \text{ нм} \cdot \frac{3 \cdot \sin(6^\circ)}{2 \cdot \sin(10^\circ)}$

Значения синусов: $\sin(6^\circ) \approx 0.104528$, $\sin(10^\circ) \approx 0.173648$.

$\lambda_2 \approx 590 \cdot \frac{3 \cdot 0.104528}{2 \cdot 0.173648} = 590 \cdot \frac{0.313584}{0.347296} \approx 590 \cdot 0.90293$

$\lambda_2 \approx 532.73 \text{ нм}$

Округляя до целого числа, получаем:

$\lambda_2 \approx 533 \text{ нм}$

Ответ: длина волны, для которой спектр второго порядка будет виден под углом $6^\circ$, равна приблизительно $533 \text{ нм}$.