Номер 4, страница 177, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Как определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки?

Длину световой волны с помощью дифракционной решетки можно определить экспериментально, используя явление дифракции света. Метод основан на анализе дифракционной картины, которая образуется при прохождении света через решетку.

1. Теоретическая основа

Когда параллельный пучок света падает перпендикулярно на дифракционную решетку, он дифрагирует на ее щелях. В результате интерференции дифрагировавших волн на экране, расположенном за решеткой, наблюдается система светлых и темных полос – дифракционный спектр. Условие наблюдения главных максимумов (светлых полос) определяется формулой дифракционной решетки:

$d \sin(\varphi_k) = k \lambda$

где:

$\text{d}$ – период дифракционной решетки, то есть расстояние между центрами двух соседних щелей. Обычно на решетке указывается число штрихов на миллиметр ($\text{N}$), тогда период можно рассчитать по формуле $d = \frac{1 \text{ мм}}{N}$.

$\varphi_k$ – угол, под которым наблюдается максимум $\text{k}$-го порядка, отсчитанный от перпендикуляра к решетке.

$\text{k}$ – порядок спектра (целое число: $k = 0, 1, 2, ...$). $k=0$ соответствует центральному (неотклоненному) максимуму, $k=1$ – максимумам первого порядка, и так далее.

$\lambda$ – искомая длина световой волны.

2. Экспериментальная установка и измерения

Для проведения эксперимента необходимы: источник монохроматического света (например, лазер), дифракционная решетка с известным периодом $\text{d}$, и экран.

1. Установка собирается так, чтобы луч света падал перпендикулярно на решетку, а экран был расположен параллельно решетке на известном расстоянии $\text{L}$.

2. На экране наблюдается дифракционная картина: яркий центральный максимум и симметрично расположенные относительно него максимумы более высоких порядков.

3. С помощью линейки или рулетки измеряются следующие величины:

- Расстояние от дифракционной решетки до экрана $\text{L}$.

- Расстояние от центрального максимума ($k=0$) до максимума выбранного порядка $\text{k}$ (например, первого, $k=1$). Обозначим это расстояние $x_k$. Для повышения точности можно измерить расстояние между двумя симметричными максимумами $\text{k}$-го порядка ($2x_k$) и разделить результат на 2.

3. Расчет длины волны

Из геометрии установки, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный расстояниями $\text{L}$, $x_k$ и путем луча света к максимуму, можно найти синус угла дифракции $\varphi_k$:

$\tan(\varphi_k) = \frac{x_k}{L}$

Сам синус угла можно найти по тригонометрическому тождеству или из гипотенузы: $\sin(\varphi_k) = \frac{x_k}{\sqrt{L^2 + x_k^2}}$.

Однако в большинстве школьных экспериментов угол $\varphi_k$ достаточно мал, так что можно использовать приближение $\sin(\varphi_k) \approx \tan(\varphi_k) = \frac{x_k}{L}$.

Теперь можно выразить длину волны $\lambda$ из формулы дифракционной решетки:

$\lambda = \frac{d \sin(\varphi_k)}{k}$

Подставив в эту формулу измеренные и рассчитанные значения (используя приближение для малых углов), получаем расчетную формулу:

$\lambda \approx \frac{d \cdot x_k}{k \cdot L}$

Проведя измерения для нескольких порядков максимумов (например, $k=1$ и $k=2$) и усреднив полученные значения $\lambda$, можно повысить точность результата.

Ответ: Чтобы определить длину световой волны с помощью дифракционной решетки, нужно получить на экране дифракционную картину от этой волны. Затем, зная период решетки $\text{d}$ (или вычислив его из числа штрихов на миллиметр), измерить расстояние от решетки до экрана $\text{L}$ и расстояние от центрального максимума до максимума $\text{k}$-го порядка $x_k$. Искомая длина волны $\lambda$ вычисляется по формуле $\lambda = \frac{d \sin(\varphi_k)}{k}$, где синус угла дифракции $\sin(\varphi_k)$ находится из геометрии опыта, например, в приближении малых углов как $\sin(\varphi_k) \approx \frac{x_k}{L}$.