Номер 9, страница 175, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

9. Можно ли увидеть космонавта на Луне в оптический телескоп с диаметром зеркала 6 м?

9. Можно ли увидеть космонавта на Луне в оптический телескоп с диаметром зеркала 6 м?

Дано:

Диаметр зеркала телескопа, $D = 6$ м

Среднее расстояние от Земли до Луны, $L \approx 384400$ км

Средняя длина волны видимого света, $\lambda \approx 550$ нм

Перевод всех данных в систему СИ: $L = 384400 \text{ км} = 3.844 \times 10^8$ м $\lambda = 550 \text{ нм} = 5.5 \times 10^{-7}$ м

Найти:

Оценить возможность наблюдения космонавта на Луне, определив минимальный размер различимого объекта $l_{min}$.

Решение:

Чтобы определить, можно ли увидеть объект, нужно рассчитать предельную разрешающую способность телескопа. Она ограничена дифракцией света на объективе (зеркале). Минимальный угол $\theta_{min}$ (в радианах), под которым два точечных источника света еще могут быть разрешены как отдельные, определяется по критерию Рэлея: $\theta_{min} = 1.22 \frac{\lambda}{D}$

Подставим данные в формулу, чтобы найти угловое разрешение телескопа: $\theta_{min} = 1.22 \cdot \frac{5.5 \times 10^{-7} \text{ м}}{6 \text{ м}} \approx 1.118 \times 10^{-7}$ рад.

Теперь можно найти минимальный линейный размер объекта $l_{min}$ на Луне, который можно разрешить с Земли. Для малых углов он связан с угловым размером и расстоянием следующим соотношением: $l_{min} = L \cdot \theta_{min}$

Выполним расчет: $l_{min} = 3.844 \times 10^8 \text{ м} \cdot 1.118 \times 10^{-7} \text{ рад} \approx 42.98$ м.

Таким образом, теоретический предел разрешения данного телескопа позволяет различать на поверхности Луны детали размером не менее 43 метров. Рост и ширина космонавта в скафандре составляют примерно 2 метра и 1 метр соответственно, что в десятки раз меньше минимально разрешимого размера. Это означает, что космонавт будет выглядеть как точка, неотличимая от окружающего ландшафта, и будет занимать лишь малую часть одного "пикселя" получаемого изображения.

Важно отметить, что этот расчет является идеализированным (дифракционный предел). В реальности для наземных телескопов разрешение сильно ухудшается из-за турбулентных потоков в атмосфере Земли, которые размывают изображение. С учетом этого фактора реальное разрешение будет еще ниже (минимальный различимый объект будет еще крупнее).

Ответ: Нет, увидеть космонавта на Луне в оптический телескоп с диаметром зеркала 6 м невозможно. Минимальный размер объекта, который теоретически можно различить на Луне с помощью такого телескопа, составляет около 43 метров, что значительно превышает размеры человека.