Номер 4, страница 175, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Докажите, что площади зон Френеля одинаковы. Что нам дает это равенство?

4. Докажите, что площади зон Френеля одинаковы. Что нам дает это равенство?

Дано:

Расстояние от источника света S до плоскости, на которой строятся зоны, — $\text{a}$.

Расстояние от плоскости до точки наблюдения P — $\text{b}$.

Длина волны света — $\lambda$.

Найти:

Доказать, что площади зон Френеля $\Delta S_m$ приблизительно одинаковы.

Решение:

Пусть $r_m$ — радиус внешней границы m-й зоны Френеля на плоскости, перпендикулярной линии SP. По определению зон Френеля, разность хода лучей, идущих из источника S через край m-й зоны в точку P, и лучей, идущих по прямой SP, равна $m\lambda/2$.

Длина пути $S \to M_m \to P$, где $M_m$ — точка на границе m-й зоны, равна $\sqrt{a^2 + r_m^2} + \sqrt{b^2 + r_m^2}$. Длина прямого пути $S \to o \to P$ равна $a+b$. Условие для границы m-й зоны: $\sqrt{a^2 + r_m^2} + \sqrt{b^2 + r_m^2} - (a+b) = m\frac{\lambda}{2}$.

Поскольку на практике радиусы зон $r_m$ много меньше расстояний $\text{a}$ и $\text{b}$ ($r_m \ll a$, $r_m \ll b$), можно использовать приближение биномиального разложения $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ для малых $\text{x}$: $\sqrt{a^2 + r_m^2} = a\sqrt{1 + \frac{r_m^2}{a^2}} \approx a(1 + \frac{r_m^2}{2a^2}) = a + \frac{r_m^2}{2a}$. $\sqrt{b^2 + r_m^2} = b\sqrt{1 + \frac{r_m^2}{b^2}} \approx b(1 + \frac{r_m^2}{2b^2}) = b + \frac{r_m^2}{2b}$.

Подставим эти выражения в условие: $(a + \frac{r_m^2}{2a}) + (b + \frac{r_m^2}{2b}) - (a+b) = m\frac{\lambda}{2}$. $\frac{r_m^2}{2a} + \frac{r_m^2}{2b} = m\frac{\lambda}{2}$. $r_m^2 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = m\lambda$.

Отсюда находим квадрат радиуса m-й зоны: $r_m^2 = \frac{m\lambda ab}{a+b}$.

Площадь круга, ограниченного m-й зоной (т.е. суммарная площадь первых m зон), равна $S_m^{total} = \pi r_m^2 = \pi \frac{m\lambda ab}{a+b}$.

Площадь самой m-й зоны $\Delta S_m$ — это разность площадей кругов, ограниченных m-й и (m-1)-й границами: $\Delta S_m = S_m^{total} - S_{m-1}^{total} = \pi r_m^2 - \pi r_{m-1}^2 = \pi \frac{m\lambda ab}{a+b} - \pi \frac{(m-1)\lambda ab}{a+b}$. $\Delta S_m = \frac{\pi \lambda ab}{a+b} (m - (m-1)) = \frac{\pi \lambda ab}{a+b}$.

Как видно из полученной формулы, площадь m-й зоны $\Delta S_m$ не зависит от номера $\text{m}$. Следовательно, площади всех зон Френеля (в рамках использованного приближения) одинаковы.

Что нам дает это равенство?

Равенство площадей зон Френеля является фундаментальным для всего метода. Амплитуда колебаний, создаваемых m-й зоной в точке наблюдения, пропорциональна её площади $\Delta S_m$. Поскольку площади примерно равны, это означает, что каждая зона вносит примерно одинаковый по модулю вклад в суммарную амплитуду.

Однако, амплитуды от последующих зон ($A_m$) всё же немного убывают ($A_1 > A_2 > A_3 > \dots$) из-за увеличения расстояния до точки наблюдения и увеличения угла наклона к ней. Так как волны от соседних зон приходят в противофазе, суммарная амплитуда представляет собой знакопеременный ряд $A = A_1 - A_2 + A_3 - \dots$. Тот факт, что начальные вклады (пропорциональные площади) равны, позволяет легко проанализировать этот ряд и прийти к важному выводу: полная амплитуда от открытого волнового фронта равна примерно половине амплитуды от одной лишь первой (центральной) зоны Френеля ($A \approx A_1/2$).

Это равенство позволяет объяснить прямолинейное распространение света (большинство зон взаимно гасят друг друга) и такие дифракционные явления, как работа зонной пластинки и пятно Пуассона-Араго.

Ответ: Площади зон Френеля приблизительно одинаковы и равны $\Delta S \approx \frac{\pi \lambda ab}{a+b}$. Это равенство означает, что каждая зона вносит вклад в результирующую амплитуду колебаний примерно одинаковой величины. Это позволяет просто просуммировать вклады от всех зон и объяснить как прямолинейное распространение света, так и различные дифракционные эффекты.