Номер 3, страница 90 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Высота телебашни на горе Коктобе в Алматы составляет 372 м, высота самой горы — 250 м, приемной антенны — 10 м, радиус Земли равен — 6400 км. На каком расстоянии антенна может принимать сигналы?

Ответ: 100,5 км.

Дано:

Высота телебашни, $h_{башни} = 372$ м
Высота горы, $h_{горы} = 250$ м
Высота приемной антенны, $h_2 = 10$ м
Радиус Земли, $R = 6400$ км

$h_{башни} = 372$ м
$h_{горы} = 250$ м
$h_2 = 10$ м
$R = 6400 \text{ км} = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6$ м

Найти:

Максимальное расстояние приема сигнала, $\text{d}$.

Решение:

Максимальное расстояние, на котором антенна может принимать сигналы, определяется зоной прямой видимости между передающей и приемной антеннами. Из-за кривизны земной поверхности это расстояние ($\text{d}$) равно сумме расстояний от каждой из антенн до линии горизонта ($d_1$ и $d_2$).

Сначала найдем общую высоту передающей антенны ($h_1$) над условным уровнем моря. Она складывается из высоты горы и высоты самой телебашни:

$h_1 = h_{горы} + h_{башни} = 250 \text{ м} + 372 \text{ м} = 622 \text{ м}$

Расстояние до линии горизонта ($d_{горизонта}$) с высоты $\text{h}$ над поверхностью можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора. Рассматривается прямоугольный треугольник, где катеты - это радиус Земли $\text{R}$ и расстояние до горизонта $d_{горизонта}$, а гипотенуза - это $R+h$. Таким образом, $d_{горизонта}^2 + R^2 = (R+h)^2$. Раскрыв скобки и упростив, получаем $d_{горизонта}^2 = 2Rh + h^2$. Так как высота $\text{h}$ значительно меньше радиуса Земли ($h \ll R$), слагаемым $h^2$ можно пренебречь. Формула принимает вид:

$d_{горизонта} \approx \sqrt{2Rh}$

Общее расстояние прямой видимости $\text{d}$ будет суммой расстояний до горизонта от передающей антенны ($d_1$) и от приемной антенны ($d_2$):

$d = d_1 + d_2$

Вычислим расстояние до горизонта для передающей антенны, находящейся на высоте $h_1 = 622$ м:

$d_1 = \sqrt{2Rh_1} = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \times 622 \text{ м}} = \sqrt{7961.6 \times 10^6} \text{ м} \approx 89227.8 \text{ м} \approx 89.23 \text{ км}$

Теперь вычислим расстояние до горизонта для приемной антенны, находящейся на высоте $h_2 = 10$ м:

$d_2 = \sqrt{2Rh_2} = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \times 10 \text{ м}} = \sqrt{128 \times 10^6} \text{ м} \approx 11313.7 \text{ м} \approx 11.31 \text{ км}$

Найдем искомое максимальное расстояние, сложив $d_1$ и $d_2$:

$d = d_1 + d_2 \approx 89.23 \text{ км} + 11.31 \text{ км} = 100.54 \text{ км}$

Округлив результат до десятых, получаем значение, указанное в условии задачи.

Ответ: $100.5$ км.