Номер 6, страница 90 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. Антенна радиолокатора корабля расположена на высоте 25 м над уровнем моря. На каком максимальном расстоянии радиолокатор может обнаружить спасательный плот? С какой частотой при этом излучаются импульсы?

Ответ: 18 км; $8,3 \cdot 10^3$ Гц.

Дано:

Высота антенны над уровнем моря, $h = 25$ м
Средний радиус Земли, $R \approx 6400$ км
Скорость распространения радиоволн (скорость света), $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Приведем все данные в систему СИ:
$R = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

1. Максимальное расстояние обнаружения $d_{max}$.
2. Частоту излучения импульсов $\text{f}$.

Решение:

На каком максимальном расстоянии радиолокатор может обнаружить спасательный плот?

Максимальное расстояние прямой видимости для радиолокатора, расположенного на высоте $\text{h}$, ограничено кривизной Земли. Это расстояние (радиогоризонт) можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус Земли $\text{R}$ и искомое расстояние $d_{max}$, а гипотенузой — отрезок, соединяющий центр Земли с антенной, равный $R+h$.

Согласно теореме Пифагора:
$(R+h)^2 = R^2 + d_{max}^2$

Раскрывая скобки, получаем:
$R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d_{max}^2$
$d_{max}^2 = 2Rh + h^2$

Поскольку высота антенны $\text{h}$ много меньше радиуса Земли $\text{R}$ ($h \ll R$), слагаемым $h^2$ можно пренебречь, так как оно очень мало по сравнению с $2Rh$. Таким образом, формула упрощается:
$d_{max} \approx \sqrt{2Rh}$

Подставим числовые значения:
$d_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 25 \text{ м}} = \sqrt{320 \cdot 10^6} \text{ м} \approx 17888 \text{ м}$

Переведем расстояние в километры и округлим:
$d_{max} \approx 17,9 \text{ км} \approx 18 \text{ км}$

Ответ: 18 км.

С какой частотой при этом излучаются импульсы?
Частота излучения импульсов (или частота повторения импульсов) $\text{f}$ определяется максимальной дальностью обнаружения $d_{max}$. Чтобы радиолокатор мог однозначно определять расстояние до цели, следующий импульс должен быть отправлен только после того, как будет получен отраженный сигнал (эхо) от цели, находящейся на максимальном расстоянии.

Время, за которое импульс проходит путь до цели и обратно ($2d_{max}$), является периодом следования импульсов $\text{T}$.
$T = \frac{2d_{max}}{c}$

Частота $\text{f}$ является величиной, обратной периоду $\text{T}$:
$f = \frac{1}{T} = \frac{c}{2d_{max}}$

Используем найденное ранее значение $d_{max} = 18 \text{ км} = 18 \cdot 10^3 \text{ м}$.
$f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 18 \cdot 10^3 \text{ м}} = \frac{3 \cdot 10^8}{36 \cdot 10^3} \text{ Гц} = \frac{1}{12} \cdot 10^5 \text{ Гц}$
$f \approx 0,0833 \cdot 10^5 \text{ Гц} = 8,33 \cdot 10^3 \text{ Гц}$

Ответ:$8,3 \cdot 10^3$ Гц.