Практическое задание, страница 118 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

Попробуйте самостоятельно доказать, что расстояние от светящейся точки S до зеркала Z равно расстоянию от зеркала Z до изображения светящейся точки S, т. е. докажите, что

$d = -f$ (25.1)

Дано:

Плоское зеркало Z.

Светящаяся точка S.

$\text{d}$ - расстояние от точки S до зеркала Z.

$\text{f}$ - расстояние от изображения S' до зеркала Z, где S' - изображение точки S.

Найти:

Доказательство соотношения $d = -f$.

Решение:

Доказательство основано на законе отражения света и геометрических построениях. Мы сначала докажем, что расстояние от объекта до зеркала равно по величине расстоянию от изображения до зеркала, а затем применим стандартное соглашение о знаках.

1. Проведем из точки $\text{S}$ перпендикуляр к плоскости зеркала $\text{Z}$. Точку пересечения перпендикуляра с зеркалом обозначим $\text{O}$. Длина отрезка $SO$ по определению и есть расстояние от точки $\text{S}$ до зеркала: $d = |SO|$.

2. Построим точку $S'$ на продолжении отрезка $SO$ за зеркало так, чтобы $|S'O| = |SO|$. Нашей задачей является доказать, что точка $S'$ и есть мнимое изображение точки $\text{S}$.

3. Для доказательства этого факта нужно показать, что любой луч света, вышедший из $\text{S}$ и отразившийся от зеркала, будет распространяться так, будто он исходит из точки $S'$.

4. Выберем на поверхности зеркала любую точку $\text{P}$, не совпадающую с $\text{O}$. Проведем отрезок $SP$, который представляет собой падающий луч.

5. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOP$ и $\triangle S'OP$. У этих треугольников сторона $OP$ - общая; катеты $SO$ и $S'O$ равны по построению: $|SO| = |S'O|$; углы $\angle SOP$ и $\angle S'OP$ - прямые ($\angle SOP = \angle S'OP = 90^\circ$), так как $SS'$ перпендикулярен зеркалу.

6. Следовательно, треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S'OP$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие против равных катетов $SO$ и $S'O$: $\angle SPo = \angle S'PO$.

7. Теперь воспользуемся законом отражения света. Угол падения (угол между падающим лучом $SP$ и нормалью к зеркалу в точке $\text{P}$) равен углу отражения (угол между отраженным лучом и той же нормалью). Это также означает, что "угол скольжения" падающего луча (угол $\angle SPO$ между лучом и плоскостью зеркала) равен углу скольжения отраженного луча.

8. Мы установили, что $\angle S'Po = \angle SPO$. Это значит, что линия, продолжающая отрезок $S'P$ перед зеркалом, образует с плоскостью зеркала такой же угол, как и падающий луч $SP$. Следовательно, отраженный луч распространяется именно по этой линии, как будто он был испущен из точки $S'$.

9. Поскольку точка $\text{P}$ была выбрана произвольно, это справедливо для любого луча, исходящего из $\text{S}$. Все отраженные лучи образуют расходящийся пучок, продолжения которых пересекаются в точке $S'$. Таким образом, $S'$ является мнимым изображением точки $\text{S}$.

10. Из нашего построения и доказательства следует, что расстояние от объекта до зеркала равно расстоянию от изображения до зеркала: $|SO| = |S'O|$.

11. Теперь применим соглашение о знаках, принятое в оптике, чтобы получить требуемую формулу. Расстояние $\text{d}$ до действительного объекта считается положительным: $d = |SO| > 0$. Расстояние $\text{f}$ до мнимого изображения, находящегося за зеркалом, считается отрицательным. Его модуль равен $|f| = |S'O|$. Мы доказали, что $|SO| = |S'O|$, следовательно, $d = |f|$. Поскольку для мнимого изображения $f < 0$, то $|f| = -f$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем $d = -f$.

Тем самым, требуемое соотношение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Геометрически показано, что изображение $S'$ в плоском зеркале симметрично объекту $\text{S}$ относительно плоскости зеркала, из чего следует равенство расстояний до зеркала $|SO| = |S'O|$. С учетом соглашения о знаках (действительный объект $d>0$, мнимое изображение $f<0$), это равенство записывается в виде $d = -f$.