Номер 3, страница 126 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Палка с изломом посередине погружена в пруд так, что наблюдателю, находящемуся на берегу и смотрящему вдоль надводной части палки, она кажется прямой, составляющей угол $30'$ с горизонтом (рис. 26.5). Какой угол излома имеет палка? Показатель преломления воды $4/3$.

Ответ: $20'$

Рис. 26.5

Дано:

Кажущийся угол наклона палки к горизонту $ \alpha = 30^\circ $
Показатель преломления воздуха $ n_{воздуха} = 1 $
Показатель преломления воды $ n_{воды} = 4/3 $

Найти:

Угол излома палки $ \beta $.

Решение:

По условию, наблюдатель смотрит вдоль надводной части палки, поэтому её истинный угол наклона к горизонту составляет $ \alpha = 30^\circ $. Так как палка кажется прямой, то мнимое изображение её подводной части также наклонено под углом $ \alpha = 30^\circ $ к горизонту.

Свет от подводной части палки преломляется на границе вода-воздух. Запишем закон преломления Снеллиуса для лучей, идущих из воды в воздух. Углы в законе отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к поверхности воды:
$ n_{воды} \sin \theta_{пад} = n_{воздуха} \sin \theta_{прел} $

Свяжем углы падения ($ \theta_{пад} $) и преломления ($ \theta_{прел} $) с углами относительно горизонта. Пусть истинный угол наклона подводной части палки к горизонту равен $ \gamma $. Свет от этой части падает на границу раздела сред, значит, угол падения в воде равен:
$ \theta_{пад} = 90^\circ - \gamma $

Преломлённый луч в воздухе формирует мнимое изображение, которое наблюдатель видит под углом $ \alpha $ к горизонту. Следовательно, угол преломления в воздухе равен:
$ \theta_{прел} = 90^\circ - \alpha $

Подставим выражения для углов в закон Снеллиуса:
$ n_{воды} \sin(90^\circ - \gamma) = n_{воздуха} \sin(90^\circ - \alpha) $

Используя тригонометрическое тождество $ \sin(90^\circ - x) = \cos x $, получаем более удобную форму закона преломления для углов с поверхностью:
$ n_{воды} \cos \gamma = n_{воздуха} \cos \alpha $

Подставим известные значения и найдём истинный угол наклона подводной части $ \gamma $:
$ \frac{4}{3} \cos \gamma = 1 \cdot \cos 30^\circ $
$ \cos \gamma = \frac{3}{4} \cos 30^\circ $
Поскольку $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:
$ \cos \gamma = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \approx 0.6495 $

Отсюда, истинный угол наклона подводной части палки:
$ \gamma = \arccos\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) \approx 49.496^\circ $

Угол излома палки $ \beta $ представляет собой разность между истинным углом наклона подводной части $ \gamma $ и углом наклона надводной части $ \alpha $.
$ \beta = \gamma - \alpha \approx 49.496^\circ - 30^\circ \approx 19.496^\circ $

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $19.5^\circ$.