Номер 5, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. Какие поля называют вихревыми?

Вихревым полем называют векторное поле, отличительной особенностью которого является наличие замкнутых силовых линий. Это означает, что силовые линии не начинаются и не заканчиваются на каких-либо источниках (зарядах), а замыкаются сами на себя, образуя "вихри".

Ключевые свойства вихревого поля:

• Замкнутость силовых линий: В отличие от потенциальных полей (например, электростатического), где линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, силовые линии вихревого поля образуют замкнутые контуры.
• Ненулевая циркуляция: Работа, совершаемая силами поля при перемещении пробного объекта (например, заряда) по замкнутому контуру, не равна нулю. Эта величина называется циркуляцией векторного поля. Для вихревого поля $\vec{A}$ и замкнутого контура $L$ циркуляция $\oint_L \vec{A} \cdot d\vec{l} \neq 0$.

В математике характеристикой вихревого поля служит его ротор (или вихрь). Поле $\vec{A}$ является вихревым, если его ротор отличен от нуля: $$ \text{rot } \vec{A} = \nabla \times \vec{A} \neq 0 $$ Согласно теореме Стокса, циркуляция поля по контуру связана с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур. Именно ненулевой ротор и обуславливает ненулевую циркуляцию.

Примеры вихревых полей:

• Магнитное поле ($\vec{B}$). Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты (у магнитного поля нет источников-"монополей"). Согласно закону Ампера-Максвелла в дифференциальной форме, ротор магнитного поля создается токами проводимости и токами смещения: $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 (\vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$.
• Индуцированное электрическое поле. Электрическое поле, которое создается переменным во времени магнитным полем (явление электромагнитной индукции), является вихревым. Его силовые линии также замкнуты. Это описывается законом Фарадея: $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Такое поле, в отличие от электростатического, не является потенциальным.

Поля, у которых ротор равен нулю ($\text{rot } \vec{F} = 0$), называются потенциальными или безвихревыми. К ним относятся, например, электростатическое поле и гравитационное поле.

Ответ: Вихревыми называют векторные поля, силовые линии которых замкнуты, а циркуляция вдоль замкнутого контура не равна нулю. Математическим критерием является ненулевое значение ротора поля ($\text{rot } \vec{A} \neq 0$). Примерами служат магнитное поле и индуцированное электрическое поле.