Номер 4, страница 178 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 46. Примеры решения задач по теме «Закон прямолинейного распространения света. Законы отражения света». Глава 7. Световые волны - номер 4, страница 178.

Условие.

4. Предмет расположен между двумя плоскими зеркалами, образующими угол $\alpha = 30^\circ$, и находится на расстоянии $l = 10$ см от линии пересечения зеркал на одинаковом расстоянии от обоих зеркал. Определите расстояние между мнимыми изображениями этого предмета в зеркалах.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол между зеркалами: $\alpha = 30^\circ$
Расстояние от предмета до линии пересечения зеркал: $l = 10 \text{ см}$
Предмет находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.

Переведем единицы измерения в систему СИ:
$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между мнимыми изображениями предмета в зеркалах: $d$

Решение:

Пусть два плоских зеркала $З_1$ и $З_2$ пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$. Предмет $P$ расположен на расстоянии $l$ от точки $O$. Поскольку предмет находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал, он лежит на биссектрисе угла $\alpha$.

Изображение предмета в плоском зеркале является мнимым и симметричным предмету относительно плоскости зеркала. Это означает, что расстояние от любой точки на линии пересечения зеркал до изображения равно расстоянию до самого предмета. В нашем случае, расстояние от точки $O$ до предмета $P$ равно $l$, следовательно, расстояния от $O$ до его изображений $P_1$ (в зеркале $З_1$) и $P_2$ (в зеркале $З_2$) также будут равны $l$:
$OP = OP_1 = OP_2 = l$

Таким образом, предмет $P$ и его первые мнимые изображения $P_1$ и $P_2$ лежат на окружности радиусом $l$ с центром в точке $O$.

Рассмотрим угловое расположение изображений. Так как предмет $P$ лежит на биссектрисе угла $\alpha$, то угол между линией $OP$ и каждым из зеркал равен $\alpha/2$.
При отражении в зеркале $З_1$ угол между линией $OP$ и зеркалом $З_1$ равен углу между линией $OP_1$ и зеркалом $З_1$. Следовательно, угол между лучами $OP$ и $OP_1$, то есть $\angle P_1OP$, равен удвоенному углу между $OP$ и зеркалом $З_1$:
$\angle P_1OP = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$

Аналогично для зеркала $З_2$:
$\angle P_2OP = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$

Изображения $P_1$ и $P_2$ находятся по разные стороны от линии $OP$. Поэтому, чтобы найти угол между линиями $OP_1$ и $OP_2$, мы должны сложить найденные углы:
$\angle P_1OP_2 = \angle P_1OP + \angle P_2OP = \alpha + \alpha = 2\alpha$

Теперь мы имеем равнобедренный треугольник $\triangle P_1OP_2$, в котором известны две стороны ($OP_1 = OP_2 = l$) и угол между ними ($\angle P_1OP_2 = 2\alpha$). Искомое расстояние $d$ - это длина основания $P_1P_2$ этого треугольника.

Найдем длину основания $d$. Проведем высоту из вершины $O$ на основание $P_1P_2$. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Она разделит треугольник $\triangle P_1OP_2$ на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $l$, катет, противолежащий углу $\alpha$ (половина от $2\alpha$), равен $d/2$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\alpha) = \frac{d/2}{l}$

Отсюда выразим искомую величину $d$:
$d = 2l\sin(\alpha)$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Расчет можно провести в сантиметрах.
$l = 10 \text{ см}$
$\alpha = 30^\circ$
$d = 2 \cdot 10 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$
Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$:
$d = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ см}$

Ответ: $10 \text{ см}$.