Номер 6, страница 182 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 7. Световые волны. Параграф 47. Законы преломления света. Обсудить в классе - номер 6, страница 182.

Условие.

Выведите примерное равенство $ \theta \approx (n - 1)\varphi. $

Решение.

Решение 2.

Дано:

Призма с показателем преломления $n$ и малым преломляющим углом $φ$.
Луч света падает на первую грань призмы под малым углом падения $α_1$.
Призма находится в среде с показателем преломления, близким к 1 (например, в воздухе).

Найти:

Вывести приближенное равенство для угла отклонения $θ$: $θ ≈ (n - 1)φ$.

Решение:

Рассмотрим прохождение луча света через призму с преломляющим углом $φ$. Пусть луч падает на первую (левую) грань под углом падения $α_1$ и преломляется, входя в призму, под углом $β_1$. Затем этот луч падает на вторую (правую) грань под углом $α_2$ и выходит из призмы под углом преломления $β_2$. Угол отклонения $θ$ — это угол между направлением падающего луча и направлением вышедшего луча.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для обеих граней, считая, что показатель преломления окружающей среды (воздуха) равен 1:
На первой грани: $sin(α_1) = n \cdot sin(β_1)$
На второй грани: $n \cdot sin(α_2) = sin(β_2)$

Из геометрического рассмотрения хода лучей в призме можно показать, что преломляющий угол $φ$ связан с углами $β_1$ и $α_2$ следующим соотношением:
$φ = β_1 + α_2$

Общий угол отклонения $θ$ равен сумме углов отклонения на каждой из граней:
$θ = (α_1 - β_1) + (β_2 - α_2) = α_1 + β_2 - (β_1 + α_2)$
Подставив в это выражение известное соотношение для $φ$, получим:
$θ = α_1 + β_2 - φ$

По условию, мы ищем примерное равенство. Это указывает на необходимость использования приближений. Если преломляющий угол призмы $φ$ мал, и угол падения $α_1$ также мал, то и все остальные углы ($β_1, α_2, β_2$) будут малыми. Для малых углов, выраженных в радианах, справедлива аппроксимация: $sin(x) ≈ x$.

Применим это приближение к уравнениям закона Снеллиуса:
Для первой грани: $α_1 ≈ n \cdot β_1$
Для второй грани: $n \cdot α_2 ≈ β_2$

Теперь подставим эти приближенные выражения для $α_1$ и $β_2$ в формулу для угла отклонения $θ$:
$θ ≈ (n \cdot β_1) + (n \cdot α_2) - φ$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$θ ≈ n \cdot (β_1 + α_2) - φ$

Используем геометрическое соотношение $φ = β_1 + α_2$ для замены суммы в скобках:
$θ ≈ n \cdot φ - φ$

Наконец, вынесем $φ$ за скобки, чтобы получить искомое равенство:
$θ ≈ (n - 1)φ$
Это равенство хорошо работает для призм с малым преломляющим углом (обычно до 10°) и при падении луча под малым углом.

Ответ: Вывод равенства $θ ≈ (n - 1)φ$ основан на законе преломления света и геометрии призмы при условии малости преломляющего угла $φ$ и угла падения луча $α_1$. В этом приближении (аппроксимация малых углов, $sin(x) ≈ x$), закон Снеллиуса принимает вид $α_1 ≈ nβ_1$ и $β_2 ≈ nα_2$. Угол отклонения $θ$ определяется как $θ = α_1 + β_2 - φ$. После подстановки аппроксимированных выражений и использования геометрического соотношения $φ = β_1 + α_2$, мы приходим к искомой формуле: $θ ≈ n \cdot (β_1 + α_2) - φ = n \cdot φ - φ = (n - 1)φ$.