Номер 5, страница 178 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 46. Примеры решения задач по теме «Закон прямолинейного распространения света. Законы отражения света». Глава 7. Световые волны - номер 5, страница 178.

Условие.

5. Луч от точечного источника $S$ падает на плоское зеркало в точке $A$ и, отражаясь, проходит через точку $B$ (рис. 7.11). Докажите, что если бы луч от того же источника прошёл через точку $B$, отразившись от зеркала в точке $D$, то:

1) не был бы выполнен закон отражения;

2) путь $SDB$ был бы пройден светом за большее время, чем путь $SAB$.

Рис. 7.11

Решение.

Решение 2.

Решение:

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся принципом Ферма и методом мнимых изображений. Согласно принципу Ферма, действительный путь светового луча между двумя точками — это путь, для прохождения которого требуется наименьшее время. В однородной среде (где скорость света постоянна) это соответствует пути наименьшей длины. Закон отражения, гласящий, что угол падения равен углу отражения, является прямым следствием этого принципа.

Построим S' — мнимое изображение источника S в плоском зеркале. Точка S' расположена за зеркалом на том же расстоянии, что и S, причём отрезок SS' перпендикулярен зеркалу. По свойству симметрии, для любой точки X на зеркале длина отрезка SX равна длине отрезка S'X.

1) не был бы выполнен закон отражения;
По условию задачи, действительный путь луча — это SAB. Это означает, что именно в точке A выполняется принцип Ферма, а значит, и закон отражения. Геометрически выполнение закона отражения в точке A эквивалентно тому, что точки S', A и B лежат на одной прямой. Для любой другой точки D на зеркале (где $D \neq A$), точки S', D и B не лежат на одной прямой, а образуют треугольник. В этом случае условие минимума пути в точке D не выполняется, а следовательно, не выполняется и закон отражения (угол падения луча SD не будет равен углу отражения луча DB). Для заданных точек S и B существует только одна точка на плоскости зеркала, в которой выполняется закон отражения, и по условию это точка A.
Ответ: Так как луч по условию отражается в точке A, именно в этой точке выполняется закон отражения. Для любой другой точки D на зеркале этот закон выполняться не будет, поскольку точка A, удовлетворяющая закону отражения для заданных S и B, единственна.

2) путь SDB был бы пройден светом за большее время, чем путь SAB.
Время прохождения света $t$ прямо пропорционально пройденному пути $L$ ($t = L/c$), так как скорость света $c$ в среде постоянна. Чтобы сравнить время, необходимо сравнить длины путей $L_{SAB}$ и $L_{SDB}$.
Длина пути SAB равна $L_{SAB} = SA + AB$. Используя мнимое изображение S', можно записать: $L_{SAB} = S'A + AB$. Поскольку точки S', A, B лежат на одной прямой, то $L_{SAB}$ равна длине прямолинейного отрезка S'B.
Длина пути SDB равна $L_{SDB} = SD + DB$. Используя мнимое изображение S', получаем: $L_{SDB} = S'D + DB$.
Точки S', D и B образуют треугольник. По неравенству треугольника, сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны: $S'D + DB > S'B$.
Заменяя части неравенства на соответствующие длины путей, получаем: $L_{SDB} > L_{SAB}$.
Поскольку путь SDB длиннее пути SAB, свету потребуется больше времени для его прохождения ($t_{SDB} > t_{SAB}$), что и требовалось доказать.
Ответ: Путь SAB, соответствующий закону отражения, является кратчайшим из всех возможных путей от S к B с отражением от зеркала. Любой другой путь, в том числе SDB, длиннее. Следовательно, время прохождения пути SDB больше времени прохождения пути SAB.