Страница 182 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Выведите примерное равенство $ \theta \approx (n - 1)\varphi. $

Дано:

Призма с показателем преломления $n$ и малым преломляющим углом $φ$.
Луч света падает на первую грань призмы под малым углом падения $α_1$.
Призма находится в среде с показателем преломления, близким к 1 (например, в воздухе).

Найти:

Вывести приближенное равенство для угла отклонения $θ$: $θ ≈ (n - 1)φ$.

Решение:

Рассмотрим прохождение луча света через призму с преломляющим углом $φ$. Пусть луч падает на первую (левую) грань под углом падения $α_1$ и преломляется, входя в призму, под углом $β_1$. Затем этот луч падает на вторую (правую) грань под углом $α_2$ и выходит из призмы под углом преломления $β_2$. Угол отклонения $θ$ — это угол между направлением падающего луча и направлением вышедшего луча.

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для обеих граней, считая, что показатель преломления окружающей среды (воздуха) равен 1:
На первой грани: $sin(α_1) = n \cdot sin(β_1)$
На второй грани: $n \cdot sin(α_2) = sin(β_2)$

Из геометрического рассмотрения хода лучей в призме можно показать, что преломляющий угол $φ$ связан с углами $β_1$ и $α_2$ следующим соотношением:
$φ = β_1 + α_2$

Общий угол отклонения $θ$ равен сумме углов отклонения на каждой из граней:
$θ = (α_1 - β_1) + (β_2 - α_2) = α_1 + β_2 - (β_1 + α_2)$
Подставив в это выражение известное соотношение для $φ$, получим:
$θ = α_1 + β_2 - φ$

По условию, мы ищем примерное равенство. Это указывает на необходимость использования приближений. Если преломляющий угол призмы $φ$ мал, и угол падения $α_1$ также мал, то и все остальные углы ($β_1, α_2, β_2$) будут малыми. Для малых углов, выраженных в радианах, справедлива аппроксимация: $sin(x) ≈ x$.

Применим это приближение к уравнениям закона Снеллиуса:
Для первой грани: $α_1 ≈ n \cdot β_1$
Для второй грани: $n \cdot α_2 ≈ β_2$

Теперь подставим эти приближенные выражения для $α_1$ и $β_2$ в формулу для угла отклонения $θ$:
$θ ≈ (n \cdot β_1) + (n \cdot α_2) - φ$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$θ ≈ n \cdot (β_1 + α_2) - φ$

Используем геометрическое соотношение $φ = β_1 + α_2$ для замены суммы в скобках:
$θ ≈ n \cdot φ - φ$

Наконец, вынесем $φ$ за скобки, чтобы получить искомое равенство:
$θ ≈ (n - 1)φ$
Это равенство хорошо работает для призм с малым преломляющим углом (обычно до 10°) и при падении луча под малым углом.

Ответ: Вывод равенства $θ ≈ (n - 1)φ$ основан на законе преломления света и геометрии призмы при условии малости преломляющего угла $φ$ и угла падения луча $α_1$. В этом приближении (аппроксимация малых углов, $sin(x) ≈ x$), закон Снеллиуса принимает вид $α_1 ≈ nβ_1$ и $β_2 ≈ nα_2$. Угол отклонения $θ$ определяется как $θ = α_1 + β_2 - φ$. После подстановки аппроксимированных выражений и использования геометрического соотношения $φ = β_1 + α_2$, мы приходим к искомой формуле: $θ ≈ n \cdot (β_1 + α_2) - φ = n \cdot φ - φ = (n - 1)φ$.

1. Каков физический смысл показателя преломления?

1. Показатель преломления (или коэффициент преломления) — это безразмерная физическая величина, которая является одной из важнейших оптических характеристик среды. Она описывает, как свет распространяется в этой среде и насколько сильно он преломляется на границе двух сред.

Различают абсолютный и относительный показатели преломления.

Абсолютный показатель преломления среды $n$ определяется как отношение скорости света в вакууме $c$ к фазовой скорости света в данной среде $v$. Он вычисляется по формуле:

$n = \frac{c}{v}$

где $c$ — скорость света в вакууме, а $v$ — скорость света в среде.

Таким образом, физический смысл абсолютного показателя преломления заключается в том, что он показывает, во сколько раз скорость света в данной среде меньше, чем в вакууме. Среда с большим показателем преломления называется оптически более плотной. Чем больше показатель преломления, тем медленнее распространяется свет в веществе и тем сильнее он отклоняется от своего первоначального направления при входе в эту среду из оптически менее плотной среды. Поскольку скорость света в любой материальной среде всегда меньше скорости света в вакууме ($v < c$), абсолютный показатель преломления любой среды всегда больше единицы ($n > 1$). Для вакуума по определению $n = 1$.

Относительный показатель преломления второй среды относительно первой ($n_{21}$) показывает, во сколько раз скорость света в первой среде ($v_1$) отличается от скорости света во второй среде ($v_2$), и равен отношению их абсолютных показателей преломления: $n_{21} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$.

Ответ: Физический смысл показателя преломления заключается в том, что он показывает, во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в данной среде. Эта величина характеризует оптическую плотность вещества и определяет степень преломления света на границе двух сред.

2. Чем отличается относительный показатель преломления от абсолютного?

Решение

Показатель преломления — это физическая величина, которая описывает изменение скорости распространения света при его переходе из одной среды в другую. Различие между абсолютным и относительным показателями преломления заключается в том, что является точкой отсчета (эталоном) для сравнения.

Абсолютный показатель преломления

Абсолютный показатель преломления (часто называемый просто показателем преломления) — это физическая величина, характеризующая оптическую плотность одной конкретной среды. Он показывает, во сколько раз скорость света в вакууме ($c$) больше, чем фазовая скорость света в этой среде ($v$).

Он определяется формулой:

$n = \frac{c}{v}$

Здесь $c$ — это скорость света в вакууме (эталонная, максимальная скорость), а $v$ — скорость света в рассматриваемой среде. Поскольку скорость света в любой материальной среде всегда меньше скорости света в вакууме ($v < c$), абсолютный показатель преломления всегда больше единицы ($n > 1$). Для самого вакуума по определению $n = 1$. Таким образом, абсолютный показатель преломления — это фундаментальная характеристика вещества, сравнивающая его со стандартной средой — вакуумом.

Относительный показатель преломления

Относительный показатель преломления — это величина, которая характеризует преломление света на границе двух произвольных сред. Он показывает, во сколько раз скорость света в первой среде ($v_1$) отличается от скорости света во второй среде ($v_2$).

Относительный показатель преломления второй среды относительно первой ($n_{21}$) вычисляется как:

$n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$

Эту величину также можно выразить через отношение абсолютных показателей преломления этих двух сред ($n_1$ и $n_2$):

$n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$

В отличие от абсолютного, относительный показатель преломления не имеет фиксированного эталона сравнения (кроме первой среды) и его значение может быть как больше единицы (если вторая среда оптически плотнее первой, $n_2 > n_1$), так и меньше единицы (если вторая среда оптически менее плотная, $n_1 > n_2$).

Основные отличия в итоге:

1. Эталон сравнения: Абсолютный показатель использует вакуум в качестве эталона. Относительный показатель использует другую среду в качестве эталона.

2. Объект описания: Абсолютный показатель — это свойство одной среды. Относительный показатель — это свойство границы раздела двух сред.

3. Возможные значения: Абсолютный показатель всегда $n \ge 1$. Относительный показатель может быть как больше, так и меньше единицы.

Ответ: Абсолютный показатель преломления характеризует одну среду по отношению к вакууму и всегда больше или равен единице, в то время как относительный показатель преломления характеризует границу двух произвольных сред и равен отношению их абсолютных показателей, поэтому он может быть как больше, так и меньше единицы.

1. При прохождении через границу раздела двух сред измерены два угла падения $\alpha_1$ и $\alpha_2$ и два соответствующих им угла преломления $\gamma_1$ и $\gamma_2$. О соотношении этих углов можно утверждать, что

1) $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{\gamma_1}{\gamma_2}$

2) $\frac{\alpha_1}{\gamma_1} = \frac{\alpha_2}{\gamma_2}$

3) $\frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2}$

4) $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2}$

Процесс прохождения света через границу раздела двух сред описывается законом преломления света, также известным как закон Снеллиуса. Согласно этому закону, отношение синуса угла падения $ \alpha $ к синусу угла преломления $ \gamma $ является постоянной величиной для двух данных сред.

Математически закон Снеллиуса записывается в виде: $ \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21} $ где $ n_1 $ — показатель преломления первой среды, $ n_2 $ — показатель преломления второй среды, а $ n_{21} $ — относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Поскольку в условии задачи среда не меняется, величина $ n_{21} $ является константой.

Для первого измерения, с углом падения $ \alpha_1 $ и соответствующим ему углом преломления $ \gamma_1 $, мы можем записать: $ \frac{\sin \alpha_1}{\sin \gamma_1} = n_{21} $

Для второго измерения, с углом падения $ \alpha_2 $ и соответствующим ему углом преломления $ \gamma_2 $, мы можем записать: $ \frac{\sin \alpha_2}{\sin \gamma_2} = n_{21} $

Так как правые части обоих уравнений равны одной и той же постоянной величине $ n_{21} $, мы можем приравнять их левые части: $ \frac{\sin \alpha_1}{\sin \gamma_1} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \gamma_2} $

Полученное равенство является пропорцией. Используя основное свойство пропорции (если $ a/b = c/d $, то $ a/c = b/d $), можно преобразовать это выражение. Поменяем местами средние члены пропорции, которыми являются $ \sin \gamma_1 $ и $ \sin \alpha_2 $: $ \frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2} $

Данное соотношение в точности совпадает с вариантом ответа под номером 4. Варианты 1) и 2) неверны, так как закон преломления связывает синусы углов, а не сами углы (за исключением малых углов). Вариант 3) является результатом неверного преобразования пропорции.

4) $ \frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2} $